Система в которой потенциальная энергия равна нулю

[netang]

Здравствуйте.
Я записываю Лагранжиан как $\mathcal{L} = \mathcal{K} - \mathcal{V}$, где $\mathcal{V}$ - потенциальная энергия и она равна нулю. Вопрос, что характерно для такой системы? Она будет постоянно в движении? Что будет со скоростями объектов, которые двигаются в ней?

[svv]

$E=\sum\limits_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i - L$
Это обобщённый интеграл энергии. Знаете, каковы его свойства?

[Munin]

netang в сообщении #1090584 писал(а):

Я записываю Лагранжиан как $\mathcal{L} = \mathcal{K} - \mathcal{V}$

Красиво, чёрт возьми!

[netang]

svv в сообщении #1090600 писал(а):

$E=\sum\limits_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i - L$
Это обобщённый интеграл энергии. Знаете, каковы его свойства?

Нет, не знаю. Сейчас прочитаю и попытаюсь понять.

[svv]

Попробуйте сами получить то, что нужно — вычислить $\frac {dE}{dt}$. Это к Вашему вопросу имеет прямое отношение. Я начну.
$\frac {dE}{dt}=\sum\limits_i \frac d{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) \dot{q}_i +\sum\limits_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac {d\dot q_i}{dt} - \frac {dL}{dt}$
В первой сумме воспользуйтесь уравнениями Лагранжа. Во второй: $\frac {d\dot q_i}{dt}=\ddot{q}_i$. Ну, и
$\frac {dL}{dt}=\sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i+\sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i+\frac{\partial L}{\partial t}$,
но лагранжиан не зависит от $t$ явно (это условие).

[netang]

$\sum\limits_{i} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i})\dot{q}_i = \sum\limits_{i}\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i$

$\frac {dL}{dt}=\sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i+\sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i+\frac{\partial L}{\partial t}$

$\frac {dE}{dt}=\sum\limits_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i +\sum\limits_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \ddot q_i - \sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i-\sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i-\frac{\partial L}{\partial t} = 0$
при $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$.
Мне не совсем ясно, почему мы можем записать $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$, а что если функция Лагранжа явно зависит от времени $t$?

[svv]

В большинстве важных случаев, к счастью, не зависит. Таковы законы природы. Цитата из Механики Ландау и Лифшица, глава II «Законы сохранения», §6 «Энергия»:

Цитата:

... не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени — их однородностью и изотропией.
...
Начнем с закона сохранения, возникающего в связи с однородностью времени.
В силу этой однородности лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом:

$$\frac {dL}{dt}=\sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i+\sum\limits_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i$$

После чего Ландау и Лифшиц получают то же, что получили мы с Вами: $\frac{dE}{dt}=0$. Итак, величина $E=\sum\limits_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i - L$ сохраняется во времени.

По условию $U=0$, тогда $L=K$. Следовательно, сохраняется во времени величина $\sum\limits_i \frac{\partial K}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i - K$. И это ответ на Ваш первоначальный вопрос. В частном, но самом важном случае, когда $K$ является квадратичной формой от $\dot q_i$, можно продвинуться дальше.

Теперь всё-таки рассмотрим на простом примере случай, когда $\frac{\partial L}{\partial t}\neq 0$. Я хочу, чтобы Вы ясно увидели, 1) когда и почему явная зависимость лагранжиана от времени появляется и 2) что в этом случае о поведении обобщённой скорости нельзя сделать никаких общих утверждений. Возьмём систему с лагранжианом $L=\frac 1 2 m {\dot q}^2$ (для простоты всего одна обобщённая координата), что соответствует свободной материальной точке с одной степенью свободы. Из уравнений Лагранжа следует $\frac{dq}{dt}=\operatorname{const}$, что понятно физически. Итак, скорость точки сохраняется, и сказать это — значит сказать довольно много. Это пока был хороший лагранжиан с $\frac{\partial L}{\partial t}=0$.

Но теперь мы будем портить лагранжиан, причем (важно!) не меняя самой системы, с помощью только замены координат. У нас по-прежнему та же свободная материальная точка массой $m$ с одной степенью свободы.

Перейдём к новой независимой переменной $T$, связанной со старой так: $t=f(T)$. Имеем $\frac{dq}{dT}=\frac{dq}{dt} \frac{dt}{dT}=f'(T)\frac{dq}{dt}$, откуда
$L=\frac 1 2 m \left(\frac{1}{f'(T)}\frac{dq}{dT}\right)^2$
$\bullet$ Хороший случай: $f'(T)$ константа. Тогда новая обобщённая скорость $\frac{dq}{dT}$ будет постоянной во времени, как и старая $\frac{dq}{dt}$. В этом случае $f$ будет линейной (неоднородной) функцией, а само преобразование $t=f(T)$ будет физически означать переход к другой единице измерения времени и/или сдвиг начала отсчёта времени.
$\bullet$ Плохой случай: $f'(T)$ не константа. Исходя из того, что старая обобщённая скорость $\frac{dq}{dt}$ постоянна во времени, можно увидеть, что новая обобщённая скорость $\frac{dq}{dT}$ постоянной уже не будет (для свободной точки!) и может иметь какую-то сложную зависимость от времени. А всего-то — мы ввели в лагранжиан явную зависимость от времени с помощью нелинейной замены временнОй переменной.

К аналогичному результату приведёт преобразование координат $q=f(Q, t)$, если $f$ нелинейна. Такие преобразования возникают при переходе к неинерциальным системам отсчёта. Ясно, что в неинерциальной системе отсчёта координаты и скорости свободной материальной точки (простейший случай!) могут зависеть от времени как угодно, и никаких общих выводов об их поведении сделать нельзя.

Возможен также случай, когда явная зависимость $L$ от $t$ присутствует из-за явной зависимости $U$ от $t$. Физическая интерпретация: система в поле внешних сил (уже незамкнутая). Здесь тоже физически понятно, почему скорость единственной точки в системе может каким-то сложным образом меняться во времени: на неё действуют силы. Но к Вашему случаю $U=0$ это уже не имеет отношения.

[netang]

Спасибо! Немного прояснилось.

[svv]

Местами подправил, попробуйте ещё раз прочитать.