Оценка почти периодов для почти периодических функций

[demolishka]

Множество $A \subset \mathbb{R}$ называется относительно плотным, если существует такое $L>0,$ что для всех $a \in \mathbb{R}$ выполнено $[a;a+L] \cap A \not= \varnothing.$

Функция $f \in C(\mathbb{R})$ называется почти периодической в смысле Бора если для всякого $\varepsilon>0$ существует относительно плотное множество $A=A(\varepsilon)$, такое что $|f(x+\tau(\varepsilon))-f(x)|<\varepsilon$ для всех $x \in \mathbb{R}$ и $\tau(\varepsilon) \in A$.

Для заданного $\varepsilon>0$ числа $\tau(\varepsilon)$ называются $\varepsilon-$почти периодами функции $f.$

Зафиксируем почти периодическую функцию $f$. Меня интересуют теоретические способы для заданного $\varepsilon>0$ оценить(сверху или снизу) число $L(\varepsilon)$ в определении относительно плотного множества $A(\varepsilon).$ Хотя бы в простых (но все же не периодических) случаях. Для примера можно взять $f(x) = \sin x + \sin (x\sqrt2).$ Тогда вопрос становится таким: оценить наименьшее натуральное $m,$ такое что дробная часть числа $\frac{m}{\sqrt{2}}$ меньше заданного $\varepsilon,$ т.е. $|\frac{m}{\sqrt{2}} \mod 1| < \varepsilon.$

Есть ли какие-нибудь развитые подходы на эту тему? В крайнем случае подойдут численные решения.

[ИСН]

Подходящие дроби же.

[demolishka]

ИСН в сообщении #1090542 писал(а):

Подходящие дроби же.

Спасибо. Посмотрю. Видимо наконец-то придется разобраться с цепными дробями

Пока что наивные численные эксперименты показывают, что для функций типа $f(x)=\sin(x)+\sin(\sqrt{2}x)$ величина $L(2^{-T}) = Ce^{T}+o(T).$ Меня вообще интересует вопрос можно ли добиться того, чтобы $L(2^{-T}) = Ce^{T^2} + o(T^2),$ но уже для п.п. функции двух переменных, например для $f(x,y) = \sin(\sqrt{2}x+\sqrt{3}y) + \cos(\sqrt{5}x+\sqrt{7}y).$ Здесь уже наивные алгоритмы не представляют возможности быстро проверить гипотезу.