Мартингалы, ЦПТ

[Umintel]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, с такой задачей:

У нас есть модель мартингала:

(1) $y_t = (\varphi + b_t)y_{t-1} + u_t $

Где $b_t$ и $u_t$ - независимые одинаково распределённые величины, разрешено делать дополнительные предположения по ходу решения задачи. Например, я решил, что логично будет сказать, что $b_t$ и $u_t$ имеют мат. ожидание 0, и заданную, известную нам дисперсию.

Мы оцениваем значение $\varphi$, которое может принимать любые значения $-\infty < \varphi < \infty$ по формуле:

(2) $\hat{\varphi} = \frac {\sum\limits_{t=2}^{T} \frac {y_ty_{t-1}} {1 + y_{t-1}^2}} {\sum\limits_{t=2}^{T} \frac {y_{t-1}^2} {1 + y_{t-1}^2}}$

1. Нас просят найти предельное распределение ($T \rightarrow \infty$) числителя в выражении $\hat{\varphi} - \varphi$.

Eсли подставить в (2) выражение (1) и сделать некоторые преобразования, то получится такое выражение:

(3) $\hat{\varphi} = \varphi + \frac {\sum\limits_{t=2}^{T} \frac {b_ty_{t-1}^2} {1 + y_{t-1}^2} + \sum\limits_{t=2}^{T} \frac {u_ty_{t-1}} {1 + y_{t-1}^2}} {\sum\limits_{t=2}^{T} \frac {y_{t-1}^2} {1 + y_{t-1}^2}}$

Соответственно числитель выражения $\hat{\varphi} - \varphi$ (обозначим его буквой g) будет:

(4) $g = \sum\limits_{t=2}^{T} \frac {b_ty_{t-1}^2} {1 + y_{t-1}^2} + \sum\limits_{t=2}^{T} \frac {u_ty_{t-1}} {1 + y_{t-1}^2} = \sum\limits_{t=2}^{T} X_t + \sum\limits_{t=2}^{T} Y_t$

По логике тут теперь к этим суммам надо применить ЦПТ для суммы зависимых случайных величин или ЦПТ для мартингалов, в каком-нибудь её виде, и получить, что распределение нормальное. Но как тут выполнить условия теоремы, и где найти наиболее подходящую реализацию этой самой теоремы? Если взять ЦПТ для мартингалов из русской википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Центральная_предельная_теорема, то там требуют только условное мат ожидание = 0, и ограниченность дисперсии
Тут легко показать, что условное мат ожидание Xt и Yt равно нулю. Условная дисперсия:

$D(X_t | F_{t-1}) = D(b_t)(\frac {y_{t-1}^2} {1 + y_{t-1}^2})^2$

$\frac {y_{t-1}^2} {1 + y_{t-1}^2} \in[0,1] \forall y_{t-1}$ Можно добавить предположение, что $D(b_t), D(u_t)$ ограниченны, тогда выходит что и $D(X_t | F_{t-1})$ ограничена. Вроде как всё, этого достаточно? Только википедия же не доверительный источник, я не могу на него сослаться в работе, где бы найти эту теорему в авторитетном источнике с удобной формулировкой и условиями? Я что-то находил, но там совсем непонятные условия, и непонятно как их выполнить.

2. Другой вопрос задания: оценить скорость сходимости $\hat{\varphi}$.

Если посмотреть на выражение (3), выходит, что $\hat{\varphi}$ это $\varphi$ плюс остаточный член, который вроде как стремится у нулю. Смотрим на остаточный член. На вскидку кажется, что числитель не стремиться ни к нулю, ни к бесконечности. Знаменатель эта сумма из T штук положительных чисел, принимающих значения от 0 до 1, то есть по идее он растёт как O(T). А значит вся дробь убывает со скоростью O(1/T).
Как бы это аккуратно обосновать? И действительно ли числитель не сходится, а у знаменателя скорость возрастания O(T), может есть какие-то искажения? Можно ли здесь сделать оценку убывания не по порядку величины, а конкретно численное, для оценки на практике?

[dsge]

Если мат.ожидание $b_t$ равно нулю, то мартингал будет только при $ \varphi =0$, или мартингал-разность при $ \varphi =1$.

[Umintel]

Да, действительно, вы правы.
Я извиняюсь, сейчас перепроверил условие, выражение (1), это просто модель, yt не обязано быть мартингалом.