Гауссова система

[r0ma]

Здравствуйте! Помогите разобраться с размерностью. Запустался полностью.

В Гауссовой системе за основу берём уравнение Максвелла (анализирую только размерность). Поверхностный ток будет выглядеть следующим образом:

$$I = c \operatorname{rot}B \cdot L,$$

где $L$ – единица длины, по которой было проведено усреднение тока $j$. Следовательно размерность поверхнстного тока из уравнения Максвелла есть

$$I = cB,$$

т. к. единица длины сократилась с единицей оператора $\operatorname{rot}$. Далее, по ходу решения теоретической задачки, из которой и возникает мой вопрос, в ходе решения задачки мне известна намагниченность $M$. Беру следующую известную формулу:

$$B = H + 4\pi M.$$

На основе чего делаю вывод, что размерность величин $B$ и $M$ в Гауссе одинаковы. Следовательно, размерность тока получается можно переписать следующим образом:

$$I = cM.$$

Хорошо. Теперь. Смотрю в таблицу, что намагниченность меряется в единицах $\rm{SGS}.$ Тогда размерность тока получатся:

$$[I] = \frac{\rm{cm}}{\rm{c}}\cdot \rm{SGS}.$$

Однако, когда я смотрю в таблицу, то вижу, что поверхностный ток в Гауссовой системе меряется в $[I] = \rm{cm}\cdot \rm{SGS}.$ Куда делась единица времени? Где я ошибаюсь?

[DimaM]

r0ma в сообщении #1090348 писал(а):

Смотрю в таблицу, что намагниченность меряется в единицах $\rm{SGS}.$

Что это за таблица, и что за загадочные единицы "SGS"?

[r0ma]

DimaM
Задачник Иродова, 1988, стр. 413. Единица измерения SGSM.

-- Ср янв 13, 2016 12:54:23 --

Вообще, проблема в чём. В симметричной гауссовой системе в резуьтате решения задачи я нашёл следующую величину в зависимости от координаты:

$$\frac{1}{cM}I,$$

где ток $I$ – ток поверхностный. Мне для прикладной задачи надо посторить график этого тока. Мне дали оценочную величину намагниченности $10^6\frac{\rm{A}}{\rm{m}}.$ Я решил эту величину просто перевести в гауссову систему. Что я сделал. Взял нашёл, что $1 \rm{A} = 3\cdot 10^{9}\ \rm{SGSE}.$ Ежу понятно, что $1\rm{m} = 10^2\ \rm{cm}$. Подставляю:

$$\frac{1}{cM}I = \frac{\rm{s}}{\rm{cm}}\cdot\frac{\rm{cm}}{SGSE}I = \frac{\rm{s}}{\rm{SGSE}}I.$$

Отсюда следует, что раз вся эта величина безразмерна, то поверхностный ток:

$$[I] = \frac{\rm{SGSE}}{\rm{s}}.$$

Мне в это крайне слабо верится, особенно если учесть, что в симметричной гауссовой системе размерность поверхностного тока :

$$[I] = \rm{SGSE}\cdot \rm{cm}.$$

Что я делаю не так?

[DimaM]

r0ma в сообщении #1090355 писал(а):

ток I – ток поверхностный. Мне для прикладной задачи надо посторить график этого тока. Мне дали оценочную величину намагниченности $10^6\frac{\rm{A}}{\rm{m}}.$ Я решил эту величину просто перевести в гауссову систему.

По-моему, вам легче не морочить себе голову, а считать все в СИ. Там просто $i=[M]$ ($[M]$ - скачок намагниченности на границе), и будут получаться как раз амперы на метр.
А то так и погрязнете в рассматривании загадочных "SGS" (сантиметры - они centimeters).

[Munin]

r0ma в сообщении #1090348 писал(а):

Смотрю в таблицу, что намагниченность меряется в единицах $\rm{SGS}.$

Проблема в этом месте. Вы подумали, что "единицы СГС" - это название какой-то одной единицы измерения какой-то одной физической величины. На самом деле, нет. Это общее название для кучи безымянных единиц типа "единицы СГС такой-то величины". Соответственно, для контроля размерности они не используются, а просто в итоге пишем, что результат измеряется в "единицах СГС" той величины, которую и нужно получить. Например: "единица СГС заряда", "единица СГС напряжения", "единица СГС тока", и так далее.

Кстати, латиницей не SGS, а CGS, по чему можете гуглить. Латиницей вместо "единицы СГС" приняты приставки "stat-" для единиц CGSE и "ab-" для единиц CGSM.

[r0ma]

DimaM
Munin
Да, конечно, CGS, завертелся и уже впрямую транслитерацией стал писал с русского СГС. Виноват.

Кажется, я всё понял. Спасибо! Посмотрим как пойдёт.

[Munin]

Здесь был пост про то, что не надо так уж однозначно отговаривать, но его проглотил форум. И рекомендации по литературе: Сена, Чёртов, Джексон (приложение), статьи Сивухина и Окуня с руганью СИ.

[amon]

Imho, неточность у Вас здесь:

r0ma в сообщении #1090348 писал(а):

$I = c \operatorname{rot}B \cdot L$

Исходное уравнение -
$\operatorname{rot}\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}.$ Если ток течет в плоскости $XY,$ то $|\mathbf{j}|=\delta(z)I/L,$ и Вашего выражения для тока не получится. Поскольку $\delta(z)$ имеет размерность обратной длины, то результат будет как в справочнике.

[Munin]

Тут может подразумеваться "поверхностный ротор" $\operatorname{Rot},$ вводимый, например, в Тамме (§ 49)

$$\operatorname{Rot}\mathbf{a}=[\mathbf{n}(\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_1)],$$

и равный, по сути, скачку тангенциальной составляющей. Его размерность отличается от размерности обычного ротора на единичку.

[amon]

Munin в сообщении #1090453 писал(а):

Тут может подразумеваться "поверхностный ротор"

А тогда вот это:

r0ma в сообщении #1090348 писал(а):

т. к. единица длины сократилась с единицей оператора $\operatorname{rot}$

неверно.

[r0ma]

amon
Да нет. Тут подразумевалась простая вещь, что если слой достаточной тонкий по z (х и у – это плоскость слоя) по сравнению с поперечными масштабами, то ток $j (r,z)$ по z можно усреднить просто посчитва $\int j dz$. В этом смысле размерность поверхностного тока $I = j L$, а так как по размерности $j = c \operatorname{rot} B,$ то соответственно получаю $c \operatorname{rot} B\cdot L$. Мои рассуждения были именно такими.



И всё-таки не понимаю. Вот у меня есть две численных величины в СИ: намагниченность $M \sim 10^6\ A/m$, и экспериментальная оценка тока $j$ (без каких-либо усреднений): $j \sim 10^{6}\ A/cm^2$.

Что дано. Есть теоретическая формула в Гауссе для поверхностного тока, в которую входит величина намагниченности. Задача сравнить величны теоретического поверхностного тока и значения данной мне реальной оценки.

Хорошо, из справочников (тот же задачник Иродова, например), я знаю, что намагниченность $1\ CGS\ (CGSM) = 10^3\ A/m$. В теоретической формуле стоит комбинация, что поверхностная плотность тока $I = cM$ умножить на безразмерный интеграл. В таком случае с переводом теоретических значений плотности поверхностного тока проблем не возникнет. Я подставлю значения скорости света в СГС, намагниченности в СГС и всё это умножится на некий коэффициент от интеграла. Какая при этом получится размерность в итоге я на это закрываю глаза.

Что мне делать тогда с данной мне численной оценкой $10^{6}\ A/cm^2$? Т. к. мне дан настоящий (не усреднённый ток) $j$ в единицах СИ (не считая сантиметра, но его в метр превратить, тогда получится СИ) , то, правильно ли я понимаю, что:

1. я переведу значение оценки плотности тока $j$ в СГС: $1\ CGSM = 10^{5}\ A/m^2$ (взял из справочника)
2. чтобы получить из этого моё усреднённое значение тока, я умножу его на характерную толщину моей задачи по оси $z$ (в сантиметрах)
3. полученные величины я уже буду мочь непосредственно сравнивать между собой.

Я всё верно понимаю?

-- Сб янв 16, 2016 13:19:41 --

Или может есть возможность как то перевести формулу в СИ без перерешивания задачи полностью (задачка объёмна)? Конечный ответ фактически у меня записан в виде:

$$I(R) = cM\cdot\operatorname{Integral}(R),$$

где $\operatorname{Integral}$ – это безразмерный интеграл, а $R$ – безразмерная поперечная координата. Есть ли возможно такую формулу перевести в СИ не перерешивая целиком задачу и при этом не потеряв никакие коэффициенты типа $4\pi$?

[DimaM]

r0ma в сообщении #1091185 писал(а):

Или может есть возможность как то перевести формулу в СИ без перерешивания задачи полностью (задачка объёмна)? Конечный ответ у меня записан в виде:

$$I(r) = cM\cdot\operatorname{Integral}(r),$$

где $\operatorname{Integral}$ – это безразмерный интеграл. Есть ли возможно такую формулу перевести в СИ не перерешивая целиком задачу и при этом не потеряв никакие коэффициенты типа$4\pi$?

Просто добавь воды уберите $c$, и будет в СИ.

[r0ma]

DimaM
вариант с тем, чтобы убрать $c$ я понимал. Просто у меня были сомнения насчёт того надо ли будет или не надо ли будет делать что-то с $4\pi$. Потому что самое исходное уравнение на вектор-потенциал, которое я решал, выглядело так:

$$\nabla^2 A - \lambda^{-2}A = 4\pi\operatorname{rot}M.$$

Вот этот самый $4\pi$ меня и беспокоит: можно ли убрать просто скорость света.



P.S.: Хотя ток в моей модели есть $j=-(c/4\pi\lambda^2)A.$ Т. е. полученный ответ будет делиться на фактор $4\pi$. Поэтому, наверное, достаточно только скорость света и убрать.

[DimaM]

r0ma в сообщении #1091201 писал(а):

вариант с тем, чтобы убрать $c$ я понимал. Просто у меня были сомнения насчёт того надо ли будет или не надо ли будет делать что-то с $4\pi$.

Не надо. Отриньте сомнения.
Просто намагниченность определяется в СИ и СГС несколько по-разному: в СГС ${\bf B}={\bf H}+4\pi{\bf M}$, а в СИ ${\bf B}=\mu_0({\bf H}+{\bf M})$ (та же фигня с вектором поляризации).

[Munin]

r0ma
Проблема в том, что отличия CGS от SI начинаются не в момент вычислений, а ещё раньше, в выкладках. Формулы механики в этих системах выглядят одинаково, так что можно просто пересчитывать конечные ответы. А вот формулы электромагнетизма выглядят по-разному. Причём не все формулы везде приведены в обеих системах. Если вы используете какую-нибудь редкую формулу, то придётся переводить её в другую систему единиц самостоятельно.