Вы были правы, я ошибся, но это только улучшает результат.
Метрический тензор равен


В случае


Подсчитаны нулевая строка и нулевой столбец и компоненты с индексом 1,2,3.
Определитель этой матрицы равен нулю
Метрический интервал равен

Вторая сумма равна нулю так как

Но имеем
![$ds^2=R^2\sum_{l=1}^3[\varphi_l^2 d\ln R^2+2d\ln R \varphi_l d\varphi_l+d\varphi_l^2]=\\
=R^2[\sum_{l=1}^3 (\varphi_l d\ln R+d\varphi_l)^2]=\\
=R^2\sum_{l=1}^3 \varphi_l^2 d(\ln R+\ln \varphi_l)^2\eqno(2)$ $ds^2=R^2\sum_{l=1}^3[\varphi_l^2 d\ln R^2+2d\ln R \varphi_l d\varphi_l+d\varphi_l^2]=\\
=R^2[\sum_{l=1}^3 (\varphi_l d\ln R+d\varphi_l)^2]=\\
=R^2\sum_{l=1}^3 \varphi_l^2 d(\ln R+\ln \varphi_l)^2\eqno(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/a/07af438ffa96ed91ac827742d5bfa0e982.png)
Так как метрический интервал имеет три члена. а не четыре, определитель этого преобразования равен нулю. Но определитель преобразования (1) не равен нулю, а равен

Далее контравариантная компонента метрического тензора из формулы (1) равна

Но так как определитель этого преобразования равен нулю, не получается результат с примером гармонической функции. Чтобы результат получился, надо считать радиус внешним параметром, тогда справедливо (2)

Причем получим не вырожденное преобразование с произвольными

и постоянным радиусом, но к сожалению это тривиальный результат.