Мегажизнелюбивое число

[Ktina]

Десятизначное число, в записи которого использованы все цифры от 0 до 9, назовём мегажизнелюбивым.
Некоторое мегажизнелюбивое число делится нацело на все простые числа, меньшие $k$.
Чему равно наибольшее целое значение $k$?

[gris]

То есть надо сконструировать число, которое делится на наибольшее число простых без пропусков. Ноль в конце даёт делимость на два и пять. На три по любому делится. Дальше можно задействовать сразу три простых. Шестизначное число, которое на $9$ ещё делится, должно при умножении на $1001$ дать такое же девятизначное из разных ненулевых цифр!
Наберёмся нахальства и возьмём сразу четыре следующих простых: $17\cdot 19 \cdot 23\cdot 29=215441$. В последних трёх цифрах засада. Две одинаковые цифры. И при умножении на $2,3,4$ получаются две одинаковых. А дальше уже семизначные числа получаются. То есть $k\leqslant 29$ уже есть. А теперь просто проверка ста двадцати вариантов. Мне кажется, там нет подходящего. То есть $k$ снижается до $k\leqslant 23$. Пока. Наверное, аналитически всё гораздо проще

Легко подобрать $3215468970=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot 153117570$, так что с семёркой всё хорошо $(k=11)$.
А что если применить признак делимости на $11$?

[Yadryara]

Применил уже. И на $11$, и на $13$.

Полюбуйтесь на число $1526394870$.

[gris]

Ага. То есть по признаку деления на $11$ выходит, что сумма цифр, стоящих на чётных или нечётных местах, должна быть равна $45-28=17$. То есть только два варианта: $1,2,3,4,7$ или $1,2,3,5,6$.
Теперь надо проверять деление на $17$ и $19$.

[Yadryara]

gris в сообщении #1090325 писал(а):

То есть только два варианта: $1,2,3,4,7$ или $1,2,3,5,6$.

Не только, есть ещё $9$ вариантов, когда сумма $4$-х цифр равна $17$.

Имеется всего $34$ искомых числа, делящихся на все простые до $17$ включительно.

Наименьшее из которых $1284953670$.