Опять двойной интеграл, но теперь весёлый

[ProPupil]

Что ж, я вышел после праздников на работу, и обнаружил в своих залежах кучу интересных задачек. Правда, задачка опять будет на полярные координаты, но что поделаешь. Или нет? ;)

При каких натуральных $k$ и $j$ интегралы $\int\limits_G (x^2+y^2)^{j/2} \cos \left ( k \operatorname{arctg} \frac{y}{x}\right )\,dxdy$ и $\int\limits_G (x^2+y^2)^{j/2} \sin \left ( k \operatorname{arctg} \frac{y}{x}\right )\,dxdy$ одновременно обращаются в ноль, где $G$ - треугольник, ограниченный прямыми $x = 1/2, \sqrt 3 y - x = 1$ и $-\sqrt 3 y - x = 1$?

[DiMath]

Первое, что пришло в голову - рассмотреть интеграл, по отношению к которому эти два - мнимая и вещественная части.

[ProPupil]

Эта идея тут и работает как раз. Дальше пойдёт самое интересное. Тут весь интерес в области интегрирования: треугольник.

[ProPupil]

Перейдём сперва к полярным координатам, получим

$$\iint\limits_G \rho^j e^{ik\varphi}\rho\,d\rho\,d\varphi$$

Далее будем работать сперва с областью $G$. Вершины треугольника найти несложно: $A(1,0), \, B\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt 3}{2}\right),\, C\left(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt 3}{2}\right)$

Переведём их в полярные координаты ($\rho > 0, -\pi \leq \varphi < \pi$): $A(1, -\pi),\, B\left (1, \frac{\pi}{3}\right),\, C\left(1, -\frac{\pi}{3}\right)$

Далее, несложно найти, что $|AB|=|BC|=|AC|=\sqrt 3$. Т. о. треугольник $ABC$ - вписанный в единичную окружность равносторонний треугольник.

Далее находим, что центральные углы, опирающиеся на дуги $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно равны и составляют $\frac{2\pi}{3}$.

Далее поворачиваем плоскость на этот угол. Тогда треугольник переходит в себя и мы получаем $I = e^{ik\frac{2\pi}{3}}I$

Ответ: при $k$ не кратном $3$ интеграл $I$ равен 0.