Объем параллелепипеда.

[toreto]

Найти объем параллелепипеда, натянутого на вектора $m,n,k$, если $m=a+b+c$, $n=a+b$, $k=c$, при этом $abc=8$

(везде здесь имеются ввиду вектора)

Объем параллелепипеда равен $V=|mnk|=(a+b+c)(a+b)c=(a+b+c)(ac+bc)=aac+bac+cac+abc+bbc+cbc=2abc=16$

Верно ли это? Я тут подразумевал, что раз $aac$ есть смешанное произведение компланарных векторов, то оно равно нулю.

[Brukvalub]

Не смущает, что $m=n+k$ ?

[ewert]

В принципе ровно так и надо, за исключением того, что $bac+abc$ -- это как-то всё-таки не совсем $16$

(а насколько верны технические детали -- не проверял)

[toreto]

Спасибо, понятно. Ну да, изначально получает ноль тогда.

[Munin]

Не пишите произведений векторов без скобочек. Разве что совсем уж на черновике, который никому не показываете.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1089884 писал(а):

Не пишите произведений векторов без скобочек.

Без крестиков. Без скобочек (если с крестиками) -- вполне можно.

[Munin]

Крестики тоже следует писать со скобочками, потому что сомножителей три.
Ну и потом, квадратные скобочки позволяют обходиться без крестиков. А если тройное произведение тоже обозначить отдельным видом скобочек - то тем более.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1090000 писал(а):

А если тройное произведение тоже обозначить отдельным видом скобочек - то тем более.

По умолчанию тип произведения автоматически определяется количеством сомножителей. Безо всяких скобочек. Что ТС и подразумевал. Вот только в одном месте, где у него нечаянно выплыло векторное произведения как таковое -- вот только там он и сразгильдяйничал. А уж крестики там, или квадратненькие -- это уже дело вкуса, естественно.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1090009 писал(а):

По умолчанию тип произведения автоматически определяется количеством сомножителей. Безо всяких скобочек.

Это как раз нет. При двух сомножителях, произведение может быть скалярным $(\mathbf{ab})$ или векторным $[\mathbf{ab}],$ при трёх - комбинаций ещё больше: $(\mathbf{ab})\mathbf{c},([\mathbf{ab}]\mathbf{c}),[[\mathbf{ab}]\mathbf{c}],$ и это не считая ещё разного порядка умножений.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1090026 писал(а):

при трёх - комбинаций ещё больше:

и это кто из нас зануда-то?...

[Munin]

(Оффтоп)

Просто такому зануде, как вы, объяснить, что он неправ, можно только занудно. Иначе не поймёт. Даже и так - часто не понимает. И практически никогда - не признаёт, не извиняется и т. п.

[arseniiv]

(Деструктивный оффтоп)

Юзайте внешнее произведение, люди! Оно ассоциативно, ах как ассоциативно…

(Ну да, до объёма оно не доведёт, придётся кое-что в конце проделать. Всего раз. Но не портить же этим ранее сказанное!)