Пространство сходящихся последовательностей и норма в нём.

[falazure123]

Добрый день.
Есть пространство последовательностей, имеющих конечный предел какой-нибудь.
Есть пространство последовательностей, имеющих предел , равный нулю.

в первом пространстве определяли норму как супремум модулей всех элементов.

во втором уже вместо супремума пишем максимум модулей всех элементов.

как из-за того , что предел последовательности равен нулю, следует, что вместо супремума можем написать максимум?

[NSKuber]

Супремум может достигаться в каком-то элементе последовательности, а может и не достигаться ни в каком. Если последовательность сходится к нулю, то второй случай невозможен, то есть супремум достигается и является максимумом.

[falazure123]

NSKuber в сообщении #1089561 писал(а):

Супремум может достигаться в каком-то элементе последовательности, а может и не достигаться ни в каком. Если последовательность сходится к нулю, то второй случай невозможен, то есть супремум достигается и является максимумом.

Ну это вроде бы понятно.

Вопрос еще вот такой. Почему в первом пространстве, о котором я писал, нельзя в качестве нормы тоже взять максимум.
Там ведь тоже последовательности сходятся. (но, возможно, не к нулю)

[NSKuber]

Потому что максимума в общем случае может не быть, а супремум есть всегда.
Вот, например, такая последовательность: $1-\frac{1}{n}$.

[falazure123]

NSKuber в сообщении #1089566 писал(а):

Потому что максимума в общем случае может не быть, а супремум есть всегда.
Вот, например, такая последовательность: $1-\frac{1}{n}$.

почему максимума у такой последовательности нет?(

-- 10.01.2016, 15:54 --

а ну вроде понял. по картинке понятно.

супремум такой последовательности равен 1 ?

[NSKuber]

Потому что максимумом множества чисел называется супремум данного множества в случае, когда этот супремум множеству принадлежит. Чему равен супремум множества $A=\{1-\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}$ и лежит ли он в $A$?

-- 10.01.2016, 18:01 --

Да, единице.

[falazure123]

И всё таки как из-за того, что предел последовательности равен нулю, следует что супремум достигается?
$$\frac{1}{n}$ $ имеет же предел равный нулю. но максимума тоже ведь нет.

[NSKuber]

Как это нет? А единица чем не максимум?

[falazure123]

NSKuber в сообщении #1089572 писал(а):

Как это нет? А единица чем не максимум?

и правда.
а супремум её тоже единица, так?

[NSKuber]

falazure123
Да, конечно. Если максимум существует, то он же и супремум.
Насчёт доказательства, давайте я начну:
Для тождественно равной нулю последовательности достижение супремума очевидно.
Пусть $\{x_n\}$ - не тождественно равная нулю последовательность. Тогда её супремум строго больше нуля, обозначим его за $C$. Но, так как $x_n$ сходится к нулю, то, начиная с некоторого номера...

[falazure123]

NSKuber в сообщении #1089580 писал(а):

falazure123
Да, конечно. Если максимум существует, то он же и супремум.
Насчёт доказательства, давайте я начну:
Для тождественно равной нулю последовательности достижение супремума очевидно.
Пусть $\{x_n\}$ - не тождественно равная нулю последовательность. Тогда её супремум строго больше нуля, обозначим его за $C$. Но, так как $x_n$ сходится к нулю, то, начиная с некоторого номера...

все иксы будут меньше какого-то положительного числа

[NSKuber]

falazure123 в сообщении #1089586 писал(а):

все иксы будут меньше какого-то положительного числа

Это верно, а дальше? Такими шажками мы тут ещё страницу будем доказывать. Попробуйте проделать доказательство целиком, а не бросаться какими-то кусочками в надежде угадать.

[ewert]

falazure123 в сообщении #1089556 писал(а):

как из-за того , что предел последовательности равен нулю, следует, что вместо супремума можем написать максимум?

Так, что если предел есть ноль, то максимумум никак не может быть меньше нуля. И, следовательно, достигается, ведь рано или поздно все члены окажутся меньше максимума. За одним очевидным исключением, в котором он уж тем более достигается.