количество узлов в тетраэдральной сетке

[Andrey_Kireew]

Соотношение числа конечных элементов $Ne$и числа узлов расчётной сетки $N$в двухмерном случае определяется теоремой Эйлера. Например для треугольных элементов
$N=Ne/2+1$
существуют какие то подобные закономерности в трёхмерном случае, например для тетраэдральной сетки число конечных элементов строго связано с числом узлов?
если это так, то дайте пожалуйста какие нибудь ссылки на полезную информацию
сам я сталкивался с результатами численных экспериментов из которых создаётся впечатление что соотношение числа узлов и тетраэдров в сетке может варьироваться в зависимости от способа построения, но точной уверенности у меня в этом нет

[Andrey_Kireew]

После размышлений я пришел к выводу, что количество узлов трёхмерной сетки строго не связано с количеством тетраэдров (в отличие от двухмерного случая). Основанием этому стало размышление о способах измельчения сетки. Так в двухмерном случае введение нового узла на внутреннем ребре приводит к появления двух новых треугольников, что соответствует вышеприведённой формуле


это связано с тем, что на плоскости одно ребро всегда является границей 2-х треугольников

в трёхмерном случае каждое ребро может быть общим для произвольного числа тетраэдров. Следовательно измельчение тетраэдральной сетки путём введения нового узла на ребре приводит к появлению разного числа новых тетраэдров, в зависимости от валентностей узлов при ребре.

Обращаюсь к специалистам с просьбой подтвердить или опровергнуть мои рассуждения

[svv]

Andrey_Kireew в сообщении #1084854 писал(а):

Соотношение числа конечных элементов $Ne$ и числа узлов расчётной сетки $N$в двухмерном случае определяется теоремой Эйлера. Например для треугольных элементов
$N=Ne/2+1$

Поясните, пожалуйста, Вашу формулу. А то я беру несколько простых сеток, вроде таких:

— и у меня нигде (!) не получается Ваше соотношение.

[Andrey_Kireew]

svv в сообщении #1088025 писал(а):

Andrey_Kireew в сообщении #1084854 писал(а):

Соотношение числа конечных элементов $Ne$ и числа узлов расчётной сетки $N$в двухмерном случае определяется теоремой Эйлера. Например для треугольных элементов
$N=Ne/2+1$

Поясните, пожалуйста, Вашу формулу. А то я беру несколько простых сеток - и у меня нигде (!) не получается Ваше соотношение.

Здесь для краткости я обозначил $N_{in}+N_p/2=N$, где $N_{in}, N_p $ - количества внутренних и соответственно - поверхностных узлов плоской сетки (в моей задаче они жестко связаны между собой), т.е. в общем виде эта формула будет выглядеть так
$N_{in}+N_p/2=Ne/2+1$
легко проверить, что она выполняется для любой плоской сетки
но суть вопроса не в этом, а в отсутствии аналогичной связи в трёхмерном случае

[arseniiv]

В одномерном случае (приставленные друг к другу отрезки), например, получим $N_\mathrm{in} + N_\mathrm p/2 = Ne$.

[Andrey_Kireew]

arseniiv в сообщении #1088112 писал(а):

В одномерном случае (приставленные друг к другу отрезки), например, получим $N_\mathrm{in} + N_\mathrm p/2 = Ne$.

в одномерном случае $N_p\equiv2$ (у отрезка 2 конца) и $N_{in}=Ne-1$
всё это понятно, но как быть с трёхмерным случаем?

[svv]

В трехмерном случае справедлива формула (обобщение формулы Эйлера)
$k_0-k_1+k_2-k_3=1$
Здесь (подгоняя под Ваш случай)
$k_0$ — число вершин
$k_1$ — число ребер
$k_2$ — число треугольных граней (включая внутренние перегородки между тетраэдрами)
$k_3$ — число тетраэдров
Например, сложив два одинаковых правильных тетраэдра гранями, получим
$5-9+7-2=1$
Это не совсем те величины, которые Вас интересуют, но в двумерном случае Вы тоже начинали с формулы Эйлера, может, и здесь что-то получится, если исходить из её обобщения.

[Andrey_Kireew]

svv в сообщении #1088144 писал(а):

В трехмерном случае справедлива формула (обобщение формулы Эйлера)
$k_0-k_1+k_2-k_3=1$
Здесь (подгоняя под Ваш случай)
$k_0$ — число вершин
$k_1$ — число ребер
$k_2$ — число треугольных граней (включая внутренние перегородки между тетраэдрами)
$k_3$ — число тетраэдров
Например, сложив два одинаковых правильных тетраэдра гранями, получим
$5-9+7-2=1$
Это не совсем те величины, которые Вас интересуют, но в двумерном случае Вы тоже начинали с формулы Эйлера, может, и здесь что-то получится, если исходить из её обобщения.

а где можно почитать про это подробнее? может подскажете ссылку?

[svv]

Где почитать подробнее — не знаю.
Ключевые слова: симплекс, симплициальный комплекс, эйлерова характеристика.
Формула эта справедлива не только для тетраэдров и треугольных граней, область её применимости шире (проверьте для кубических сеток). В то же время не любые мыслимые издевательства над сетками она выдержит.
Посмотрите здесь, во-первых, пункт Polyhedra. Обратите внимание, что для правильных многогранников получился бы «наш» результат $1$, а не «их» $2$, если бы они ещё вычитали количество трехмерных областей ($1$), как требует наша формула. Во-вторых, взгляните на пункт Topological definition.

[Andrey_Kireew]

svv в сообщении #1088179 писал(а):

Где почитать подробнее — не знаю.
Ключевые слова: симплекс, симплициальный комплекс, эйлерова характеристика.
Формула эта справедлива не только для тетраэдров и треугольных граней, область её применимости шире (проверьте для кубических сеток). В то же время не любые мыслимые издевательства над сетками она выдержит.
Посмотрите здесь, во-первых, пункт Polyhedra. Обратите внимание, что для правильных многогранников получился бы «наш» результат $1$, а не «их» $2$, если бы они ещё вычитали количество трехмерных областей ($1$), как требует наша формула. Во-вторых, взгляните на пункт Topological definition.

спасибо

[Andrey_Kireew]

Разобрался с эйлеровой характеристикой. В моём случае, для тетраэдральной сетки, получается
$N_{in}+N_p-R+G-N_e=1$,
где $N_{in},N_p$ - числа внутренних и внешних узлов, $R$ - число рёбер, $G$ - число граней, $N_e$ - число тетраэдров.
Число граней сетки связано с числом тетраэдров и числом внешних узлов как
$G=2N_e+N_p-2$
чтобы получить выражение, аналогичное двухмерному случаю. нужно связать $R$ с $N_{in},N_p и N_e$,
тут возникает сложность: в плоском случае каждое ребро (за исключением границы) всегда принадлежит двум треугольникам, а каждый треугольник всегда содержит 3 ребра, но в пространстве разные ребра могут принадлежать разному числу тетраэдров и разному числу граней (от 3-х и более), хотя каждый тетраэдр всегда содержит 6 рёбер, а каждая грань - 3 ребра.

Можно ли в этом случае точно определить общее число рёбер тетраэдральной сетки? или же это число в некоторой степени произвольно и зависит от способа разбиения?