ЛЛ-1. Вывод лагранжиана свободной материальной точки.

[Munin]

peripatetik в сообщении #1088068 писал(а):

То есть, предлагается чисто эмпирическое решение.

Не понимаю, что вы называете "эмпирическим", и что "физическим". Такое ощущение, что у меня в голове эти термины ровно наоборот расставлены.

amon в сообщении #1088094 писал(а):

Обращение к читающим: если кто-нибудь знает ссылку на источник, где это аккуратно написано - поделитесь пожалуйста, а то меня ломает это все самому воспроизводить, а результат забавный, и не очень широко известный.

Видел неоднократно, ссылку поленился сохранить. Самое аккуратное изложение, помнится, было у какого-то альта :-) так что и ссылки не заслуживало.

Может, есть у зануды Вайнберга в КТП. Может, есть у Медведева. У Рашевского какого-нибудь. У меня не сложилось впечатления, что "не очень широко известный" :-)

peripatetik в сообщении #1088098 писал(а):

Но, все-таки, инвариантность лагранжиана по отношению к сдвигам, вращениям 3-мерного пространства интуитивно очевидна. Неинвариантность по отношению к преобразованиям Галилея тоже, но ЛЛ требуют не инвариантности, а эквивалентности с точки зрения вариационного принципа. Мне кажется, тут должно быть что-то большее, чем просто подгонка под ответ. Надо думать...

Я в упор не понимаю, чего вы хочете. Эквивалентность с точки зрения вариационного принципа - для меня лично очевидна. Если бы они были неэквивалентны, то давали бы разные истинные движения, что нелепо.

Можете задать свой вопрос хотя бы минимально формализованно и в буквах?

[peripatetik]

Штука в том, что вариационный принцип пишется в какой-то системе отсчета и заранее неясно, какой можно ли брать лагранжиан из одной ИСО чтобы варьировать его в другой ИСО. Если в нештрихованной лагранжиан $L(\bar v^2)$, а в штрихованной $L(\bar v^\prime^2)$, то действие в нештрихованной $S=\int L(v^2) dt$, в штрихованной $S^\prime=\int L(\bar v^\prime^2) dt$, и сразу непонятно откуда берется тезис о том, что эти лагранжианы отличаются на производную по времени, так как относятся к РАЗНЫМ системам отсчета ($v^\prime=v-u$).
PS. Кажется, я понял, как можно это доказать. Нужно взять не свободное тело, а два взаимодействующих, тогда потенциальная энергия зависит только от относительного расстояния и не меняется в разных ИСО. Чтобы уравнения движения совпали (принцип Галилея) необходимо чтобы величина $\frac{\partial L}{\partial \bar v_1}$ , была полной производной по времени от функции времени и координат, то есть линейна по скорости первого тела.

[amon]

Переход из одной СО в другую - это просто замена переменных. Если мы знаем $L(q,\dot{q},t)$ в одной СО, то в другой будет $L(q(q',\dot{q'},t'),\dot{q}(q',\dot{q'},t'),t(q',\dot{q'},t'))\frac{dt}{dt'}.$ Что бы уравнения движения были одинаковыми, необходимо что бы

$$ L(q(q',\dot{q'},t'),\dot{q}(q',\dot{q'},t'),t(q',\dot{q'},t'))\frac{dt}{dt'}=L(q',\dot{q'},t')+dF. $$

Однако, таким способом вы не получите для свободной частицы $L=\frac{m\dot{q}^2}{2}$ без дополнительных упражнений с бубном.

[peripatetik]

Согласен, для свободной нет, а вот для двух взаимодействующих, в предположении что лагранжиан имеет вид $T-U$ все получается.

[amon]

Для взаимодействующих частиц бабушка надвое сказала, что $S=\int L(v^2) dt$.

[peripatetik]

amon в сообщении #1088121 писал(а):

Переход из одной СО в другую - это просто замена переменных. Если мы знаем $L(q,\dot{q},t)$ в одной СО, то в другой будет $L(q(q',\dot{q'},t'),\dot{q}(q',\dot{q'},t'),t(q',\dot{q'},t'))\frac{dt}{dt'}.$ Что бы уравнения движения были одинаковыми, необходимо что бы

$$ L(q(q',\dot{q'},t'),\dot{q}(q',\dot{q'},t'),t(q',\dot{q'},t'))\frac{dt}{dt'}=L(q',\dot{q'},t')+dF. $$

Однако, таким способом вы не получите для свободной частицы $L=\frac{m\dot{q}^2}{2}$ без дополнительных упражнений с бубном.

Я поторопился согласиться. Если потребовать инвариантность действия при замене координат, как это Вы сделали, то все получается даже для свободной частицы. Рассмотрим ее движение в одной системе - лагранжиан $L(v^2)$, перейдем в другую ИСО, движущуюся с бесконечно малой скоростью $\varepsilon$, тогда в новой ИСО лагранжиан будет $L((v\prime+\varepsilon)^2)$. С другой стороны, по Галилею можно сразу рассматривать частицу в новой системе, причем лагранжиан будет $L(v\prime^2)$. Уравнния движения совпадут, если $L((v\prime+\varepsilon)^2)=L(v\prime^2)+\frac{dF(r\prime,t)}{dt}$, откуда после разложения легко получить, что L квадратично по скорости.

[peripatetik]

В общем, приходится констатировать, что у ЛЛ все написано правильно. Рассуждение, видимо, примерно такое. Возьмем лагранжиан свободного движения в какой-нибудь ИСО. Он зависит только от скорости $L(v^2)$. Выполняя в действии формальную замену координат, можно получить лагранжиан, описывающий движение свободной частицы в любых координатах, если новые координаты имеют вид $r\prime=r-u$, то новый лагранжиан будет $L((v\prime+u)^2)$. С другой стороны, принцип Галилея это нетривиальное физическое утверждение, оно состоит в том, что в новой системе движение опишется старым лагранжианом, если в нем просто заменить старую скорость на новую $L(v\prime^2)$. В итоге, для описания одного и того же движения в одной системе координат мы получаем два лагранжиана. Имея ввиду переход к системам со взаимодействиями, естественно потребовать, чтобы вариации кинетических частей лагранжианов всегда совпадали, отсюда и определяется вид свободного лагранжиана.

[amon]

peripatetik в сообщении #1088192 писал(а):

В общем, приходится констатировать, что у ЛЛ все написано правильно.

Ну и хорошо. Двигайтесь дальше.

[Munin]

peripatetik в сообщении #1088192 писал(а):

В общем, приходится констатировать, что у ЛЛ все написано правильно.

В общем, это частая ситуация :-)

"Выбросим два листа выкладок, и напишем «очевидно, что...»"

...Там надо сесть,
Серьё-ё-ёзно подумать...
И смех достойно удержать!