ЛЛ-1. Вывод лагранжиана свободной материальной точки.

[peripatetik]

Последовательность вывода у авторов следующая -
1. Пространство-время однородно и изотропно, значит лагранжиан зависит только от скорости.
2. Лагранжианы в двух инерциальных системах могут отличаться только на производную времени. Это следствие принципа Галлилея.
С первым пунктом вопросов нет, но второй я никак не могу понять. Если в одной системе лагранжиан $L(\bar v^2)$, то для выполнения принципа Галлиея о механической одинаковости движения в разных ИС достаточно всего лишь потребовать, чтобы лагранжиан в другой ИС имел такой же вид $L(\bar v^\prime^2)$. Разумеется, движение одной точки можно рассматривать с точки зрения двух систем и это может наложить ограничения, но тогда надо честно варьировать действия в двух системах, в то время как ЛЛ, по сути, говорят, что в качестве лагранжиана свободной материальной точки можно брать лагранжиан из любой ИС, что неочевидно.

[Munin]

peripatetik в сообщении #1087985 писал(а):

в то время как ЛЛ, по сути, говорят, что в качестве лагранжиана свободной материальной точки можно брать лагранжиан из любой ИС, что неочевидно.

Неочевидно, но верно. Ведь если точка выбирает какое-то истинное движение из множества возможных, с точки зрения одной ИСО, то точно также она должна выбирать именно истинное движение и с точки зрения другой ИСО.

-- 04.01.2016 17:50:58 --

Кажется, аналогичные по сути рассуждения используются в ЛЛ-2, чтобы получить действие $S=-m\int ds.$

[Red_Herring]

peripatetik в сообщении #1087985 писал(а):

могут отличаться только на производную по времени.

Я вставил "по" чтобы получить правильную редакцию: $L=L'+ \frac{d}{dt} Q(t, q)$.

[peripatetik]

Munin в сообщении #1088017 писал(а):

peripatetik в сообщении #1087985 писал(а):

в то время как ЛЛ, по сути, говорят, что в качестве лагранжиана свободной материальной точки можно брать лагранжиан из любой ИС, что неочевидно.

Неочевидно, но верно. Ведь если точка выбирает какое-то истинное движение из множества возможных, с точки зрения одной ИСО, то точно также она должна выбирать именно истинное движение и с точки зрения другой ИСО.

Проверяем. Пусть штрихованная ИСО движется со скоростью $u$ по отношению к нештрихованной. Точка начинает движение из начала координат и прибывает в точку $Q$ в момент $T$. Действие в нештрихованной ИСО $S=\int_0^{Q(T)} L(v^2) dt$, в нештрихованной по Галлилею $S^\prime=\int_0^{Q(T)-uT} L(v^2) dt$.
Нетрудно проверить, что решение с постоянной скоростью $v(t)=Q/T$ доставит минимум первому действию, а $v(t)=Q/T-u$ второму, причем (почти) никаких ограничений на зависимость лагранжиана от скорости не накладывается. То есть, принцип Галлилея не позволяет определить зависимость лагранжиана от скорости. Постулирование экивалетностей лагранжианов по отношению к преобразованиям Галлилея решает вопрос, но какой физический смысл в этом требовании?

[amon]

peripatetik в сообщении #1088040 писал(а):

То есть, принцип Галилея не позволяет определить зависимость лагранжиана от скорости.

Это правда, если считать, что в принципе Галилея ничего не сказано о наличии/отсутствии выделенной инерциальной системы отсчета ("мирового эфира"). Если добавить требование отсутствия такой системы, то, вроде, все сойдется. А вообще, это место у ЛЛ плохое, и я его рекомендую пока пропустить.

[peripatetik]

amon в сообщении #1088043 писал(а):

peripatetik в сообщении #1088040 писал(а):

То есть, принцип Галлилея не позволяет определить зависимость лагранжиана от скорости.

Это правда, если считать, что в принципе Галлилея ничего не сказано о наличии/отсутствии выделенной инерциальной системы отсчета ("мирового эфира"). Если добавить требование отсутствия такой системы, то, вроде, все сойдется. А вообще, это место у ЛЛ плохое, и я его рекомендую пока пропустить.

Так это ж самое интересное - зачем пропускать? Кстати, я не понимаю, как с принципом Галлилея согласуется наличие эфира - ведь если он есть и не является вещью в себе, то разные ИСО будут по-разному с ним взаимодействовать, то есть принцип Галлилея нарушится.

[Pphantom]

(Оффтоп)

Дорогие участники обсуждения, вы бы все-таки учитывали, что фамилия Галилея пишется без сдвоенных "л". Глаза режет.

[Munin]

peripatetik в сообщении #1088040 писал(а):

Постулирование экивалетностей лагранжианов по отношению к преобразованиям Галлилея решает вопрос, но какой физический смысл в этом требовании?

Наверное, такой, что мы не знаем, какой из неэквивалентных лагранжианов выбирать, если их несколько. Именно потому, что мы понятия не имеем, как движемся относительно "мирового эфира". Так что, берём какой-то один, и - удивительно - он всегда работает!

-- 04.01.2016 19:30:07 --

Вообще говоря, логику можно повернуть и другим концом.

Нам нужна функция, имеющая экстремум в данной точке. Разве такая функция одна? Нет, конечно. Но из всех таких можно выбрать какую-то одну. Так же и с лагранжианами: зная реальные движения, мы не можем однозначно восстановить лагранжиан, но можем выбрать какой-то один, который будет их описывать вполне успешно. И если мы можем выбрать галилее-инвариантный, то почему бы и не взять именно такой?

[amon]

peripatetik в сообщении #1088048 писал(а):

как с принципом Галилея согласуется наличие эфира

Принцип Галилея ("слабый", как у автора) утверждает, что все уравнения физики записываются одинаково во всех инерциальных системах отсчета. В такой формулировке, как Вы сами только что показали, он накладывает очень слабые ограничения даже на свободное движение. Можно, к примеру, представить себе, что все тела плавают в некой бездиссипативной среде, и всегда можно измерить скорость тела относительно этой среды. Такое, приближенно, имеет место для электронов в твердых телах, тел в идеальной жидкости и т.п. Все законы сохранения (энергии, импульса и т.п.) при этом остаются, но конкретные формулы могут отличаться от привычных. Например, кинетическая энергия свободной частицы не обязана быть $mV^2/2$. Как только мы добавим требование отсутствия выделенной системы отсчета, это требование вместе с однородностью и изотропностью, обрежет нам свободу настолько, что ничего, кроме преобразований Лоренца (!) не останется. Галилей - частный случай Лоренца, когда константа $c$ в этом преобразовании равна бесконечности. А вообще, надо не философией заниматься, а к экзамену готовиться ;)

[peripatetik]

Сначала поправлюсь, в прошлом посте я имел ввиду Эйнштейновский принцип, а не Галилея. То есть, меня интересует вопрос можно ли на основании ПГ установить вид лагранжиана свободной материальной точки.

Munin в сообщении #1088055 писал(а):

peripatetik в сообщении #1088040 писал(а):

Постулирование экивалетностей лагранжианов по отношению к преобразованиям Галлилея решает вопрос, но какой физический смысл в этом требовании?

Наверное, такой, что мы не знаем, какой из неэквивалентных лагранжианов выбирать, если их несколько. Именно потому, что мы понятия не имеем, как движемся относительно "мирового эфира". Так что, берём какой-то один, и - удивительно - он всегда работает!

То есть, предлагается чисто эмпирическое решение. Может быть, но чисто интуитивно кажется, что все-такие можно найти физическое обоснование для $v^2$.

-- 04.01.2016, 20:53 --

amon в сообщении #1088067 писал(а):

peripatetik в сообщении #1088048 писал(а):

как с принципом Галилея согласуется наличие эфира

Принцип Галилея ("слабый", как у автора) утверждает, что все уравнения физики записываются одинаково во всех инерциальных системах отсчета. В такой формулировке, как Вы сами только что показали, он накладывает очень слабые ограничения даже на свободное движение. Можно, к примеру, представить себе, что все тела плавают в некой бездиссипативной среде, и всегда можно измерить скорость тела относительно этой среды.

Опять не понимаю. Как можно измерить скорость по отношению к среде, если она не оказывает никакого сопротивления? И, если скорость можно измерить, то разве это не противоречит принципу Галилея?

-- 04.01.2016, 20:59 --

amon в сообщении #1088067 писал(а):

peripatetik в сообщении #1088048 писал(а):

Как только мы добавим требование отсутствия выделенной системы отсчета, это требование вместе с однородностью и изотропностью, обрежет нам свободу настолько, что ничего, кроме преобразований Лоренца (!) не останется.

Вы, кажется, забыли добавить принцип конечности времени передачи взаимодействия. Но, возвращаясь к механике, я правильно понимаю, что ЛЛ ошиблись, когда выводили лагранжиан свободной частицы из принципа Галилея?

[amon]

peripatetik в сообщении #1088068 писал(а):

Вы, кажется, забыли добавить принцип конечности времени передачи взаимодействия. Но, возвращаясь к механике, я правильно понимаю, что ЛЛ ошиблись, когда выводили лагранжиан свободной частицы из принципа Галилея?

Удивительным образом, эта самая конечность получается сама. Единственное, что остается, это отождествить константу в получившемся преобразовании со скоростью света. К сожалению, я на вскидку не помню, где это написано (физика - наука устная, и многое передается в фольклоре). ЛЛ не то, что бы ошиблись, они подогнали в этом месте свои рассуждения под ответ. Если все проделать аккуратно, то получится релятивистская механика с произвольной буквой $c$ ("скоростью света").

Обращение к читающим: если кто-нибудь знает ссылку на источник, где это аккуратно написано - поделитесь пожалуйста, а то меня ломает это все самому воспроизводить, а результат забавный, и не очень широко известный.

[peripatetik]

Очень интересно, хотелось бы посмотреть.
Но, все-таки, инвариантность лагранжиана по отношению к сдвигам, вращениям 3-мерного пространства интуитивно очевидна. Неинвариантность по отношению к преобразованиям Галилея тоже, но ЛЛ требуют не инвариантности, а эквивалентности с точки зрения вариационного принципа. Мне кажется, тут должно быть что-то большее, чем просто подгонка под ответ. Надо думать...

[amon]

peripatetik в сообщении #1088068 писал(а):

Как можно измерить скорость по отношению к среде, если она не оказывает никакого сопротивления? И, если скорость можно измерить, то разве это не противоречит принципу Галилея?

В качестве примера. В такой среде кинетическую энергию можно написать как $m(v^2)v^2,$ и измеряя инерционную массу, можно измерить абсолютную скорость, если $m(v^2)$ достаточно "хорошая" функция. Принцип Галилея, сформулированный так, как выше, не содержит требования отсутствия выделенной системы отсчета. Это дополнительное требование, и его можно накладывать или не накладывать.

[peripatetik]

amon в сообщении #1088099 писал(а):

peripatetik в сообщении #1088068 писал(а):

Как можно измерить скорость по отношению к среде, если она не оказывает никакого сопротивления? И, если скорость можно измерить, то разве это не противоречит принципу Галилея?

В качестве примера. В такой среде кинетическую энергию можно написать как $m(v^2)v^2,$ и измеряя инерционную массу, можно измерить абсолютную скорость, если $m(v^2)$ достаточно "хорошая" функция. Принцип Галилея, сформулированный так, как выше, не содержит требования отсутствия выделенной системы отсчета. Это дополнительное требование, и его можно накладывать или не накладывать.

Но ведь если электроны посадить в
электрическое поле, то они будут двигаться по-разному, в разных ИСО, так как будет меняться эффективная масса. Я не прав?
А как в механике можно математически выразить отсутствие выделенной ИСО? Если потребовать инвариантность уравнений движения по отношению к преобразованиям Галилея, то это и будет его принцип.

[amon]

peripatetik в сообщении #1088100 писал(а):

Если потребовать инвариантность уравнений движения по отношению к преобразованиям Галилея, то это и будет его принцип.

Кто сказал, что преобразованиями группы Галилея дело ограничится? Вдруг существует более широкая группа, включающая галилеевскую в качестве подгруппы? И почему, вообще, такие преобразования должны образовывать группу, может, полугруппы достаточно. Т.е. программа должна быть примерно такая.
1. Сформулировать требования (что остается неизменным, что можно, что нельзя)
2. Найти преобразования (все!) удовлетворяющие п.1
3. Написать лагранжиан, дающий уравнения движения инвариантные относительно п.2
Оказывается, что эта схема очень чувствительна к деталям.