Площадь поверхности как производная объема

[prof.uskov]

maximav в сообщении #1087074 писал(а):

И этот же учитель продифференцировал объем и получил площадь сферы. Тоже трюк. Я его продемонстрировал при поступлении на физ-фак. А когда она спросила почему, не нашел ничего ответить.

А на самом деле почему при дифференцировании объема шара по радиусу получается площадь его поверхности?

[Mihr]

prof.uskov в сообщении #1087474 писал(а):

А на самом деле почему при дифференцировании объема шара по радиусу получается площадь его поверхности?

Нестрогое, но наглядное объяснение было в школьном учебнике под редакцией Колмогорова. Примерно так: представим себе, что мы покрыли поверхность шара тонким слоем краски равной толщины. Тогда, чтобы определить площадь этой поверхности, нам следует разделить объём израсходованной краски на толщину слоя. Весьма наглядно.

[prof.uskov]

Mihr в сообщении #1087476 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1087474 писал(а):

А на самом деле почему при дифференцировании объема шара по радиусу получается площадь его поверхности?

Нестрогое, но наглядное объяснение было в школьном учебнике под редакцией Колмогорова. Примерно так: представим себе, что мы покрыли поверхность шара тонким слоем краски равной толщины. Тогда, чтобы определить площадь этой поверхности, нам следует разделить объём израсходованной краски на толщину слоя. Весьма наглядно.

Речь об объеме шара, а не об объеме израсходованной краски, покрывающей поверхность... И где здесь производная? Возможно, рассматривая шар состоящим из большого числа слоев краски и можно придти к формуле связи объема и площади через дифференцирование, но как-то не очень наглядно.
И еще, формула с дифференцированием объема работает только для шара, для всех остальных тел площадь поверхности при том же объеме больше.

[Mihr]

prof.uskov в сообщении #1087486 писал(а):

Речь об объеме шара, а не об объеме израсходованной краски... И где здесь производная?

Покрашенный шар имеет чуть больший объём, чем непокрашенный. Приращение объёма шара - это объём израсходованной краски $\Delta V$. Делим его на толщину слоя краски - на приращение радиуса шара. Получаем, что площадь поверхности шара - это отношение $\Delta V$ к $\Delta R$, где $\Delta R$ мало.

prof.uskov в сообщении #1087486 писал(а):

И еще, формула с дифференцированием объема работает только для шара, для всех остальных тел площадь поверхности при том же объеме больше.

Не понял Вас. В принципе, такой подход годится и для тел другой формы. Правда, им не всегда удобно пользоваться практически, но это уже иной вопрос.
Если есть один параметр, определяющий размер тела (типа радиус шара или ребро куба), то считать очень просто.

[prof.uskov]

Mihr в сообщении #1087487 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1087486 писал(а):

Речь об объеме шара, а не об объеме израсходованной краски... И где здесь производная?

Покрашенный шар имеет чуть больший объём, чем непокрашенный. Приращение объёма шара - это объём израсходованной краски $\Delta V$. Делим его на толщину слоя краски - на приращение радиуса шара. Получаем, что площадь поверхности шара - это отношение $\Delta V$ к $\Delta R$, где $\Delta R$ мало.

Не совсем очевидно почему формула справедлива лишь для шара. Например, для куба производную объема нужно умножать на 2, чтобы получить площадь поверхности.
Сформулирую по другому. Объем шара пропорционален кубу его радиуса. Площадь шара пропорциональна квадрату радиуса, точно также как и производная от объема шара. Неожиданно здесь то, что коэффициент пропорциональности между производной объема и площадью поверхности оказался равен 1.

[Lia]

Вы его центр в начало координат поместите.

[Mihr]

prof.uskov в сообщении #1087488 писал(а):

Не совсем очевидно почему формула справедлива лишь для шара.

Для тела любой формы рассуждение с "краской" подходит. Но другая форма может определяться целым набором параметров. И нужно согласованно изменять эти параметры таким образом, чтобы тело одинаково "уширилось" по всем направлениям. То есть, чтобы добавляемый "слой" везде имел одинаковую толщину.

-- 02.01.2016, 00:24 --

Lia в сообщении #1087489 писал(а):

Вы его центр в начало координат поместите.

Можно ещё в начало координат поместить избранную вершину куба, а его рёбра направить вдоль координатных осей. Но тогда нужно красить три смежные грани, не примыкающие к этой вершине, (чтобы избранная вершина куба не сместилась). И производная объёма куба по его ребру даст суммарную площадь трёх граней, что и ожидалось.

[Lia]

Mihr в сообщении #1087490 писал(а):

Можно в начало координат поместить избранную вершину куба,

Да все можно, я чтобы короче написать )))

[prof.uskov]

Lia в сообщении #1087489 писал(а):

Вы его центр в начало координат поместите.

Поместили. Для куба используем не длину грани, а расстояние между центром масс и любой из вершин.
Коэффициент пропорциональности между производной объема и площадью все равно не 1, как у шара.

-- 02.01.2016, 01:34 --

Mihr в сообщении #1087490 писал(а):

И производная объёма куба по его ребру даст суммарную площадь трёх граней, что и ожидалось.

А граней всего шесть. Коэффициент 2. Не очевидно именно почему для шара коэффициент 1.
См. post1087488.html#p1087488

[Lia]

prof.uskov
Зачем? Стандартно - длину стороны. Вернее, ее половину. Пусть она равна $a$. Объем куба равен $8a^3$. Объем покрашенного куба краской толщины $\Delta a$ равен понятно чему. При $\Delta a\to 0$ получаем $(8a^3)'=24a^2=6\cdot 4a^2$.

[Mihr]

prof.uskov в сообщении #1087492 писал(а):

Поместили. Для куба используем не длину грани, а расстояние между центром масс и любой из вершин.
Коэффициент пропорциональности, между производной объема и площадью все равно не 1, как у шара.

Вы плохо считали.

prof.uskov в сообщении #1087492 писал(а):

А граней всего шесть.

Поэтому чтобы получить площадь поверхности, нужно удвоить результат. Ведь мы красили не всю поверхность куба, а лишь её половину. Вдумайтесь.

[prof.uskov]

Mihr в сообщении #1087495 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1087492 писал(а):

Поместили. Для куба используем не длину грани, а расстояние между центром масс и любой из вершин.
Коэффициент пропорциональности, между производной объема и площадью все равно не 1, как у шара.

Вы плохо считали.

Расстояние между центром масс куба и вершиной: $l=a\sqrt 3/2$, откуда $a=2l/\sqrt 3$.
Объем куба: $V=a^3=8l^3$/(3\sqrt 3).
Производная объема: $V'=8l^2$/\sqrt 3$.
Площадь поверхности куба: $S=6a^2$=8l^2$
Не совпадает, где ошибка?

Lia в сообщении #1087494 писал(а):

prof.uskov
Зачем? Стандартно - длину стороны. Вернее, ее половину. Пусть она равна $a$. Объем куба равен $8a^3$. Объем покрашенного куба краской толщины $\Delta a$ равен понятно чему. При $\Delta a\to 0$ получаем $(8a^3)'=24a^2=6\cdot 4a^2$.

Вы взяли половину грани куба...
Ну тогда уж можно вообще теорему предложить: для любого объемного тела, линейный размер которого описывается одним параметром, можно выбрать указанный параметр таким образом, чтобы производная объема тела по этому параметру была равна площади его поверхности. :)

[Mihr]

prof.uskov в сообщении #1087538 писал(а):

Не совпадает, где ошибка?

Вы нашли производную по $l$, но не по $a$. Воспользуйтесь теперь теоремой о производной сложной функции.
Производная по $l$ не годится сама по себе: направление пространственной диагонали куба не совпадает с направлением нормали к поверхности. Соответственно, приращение $l$ - это не толщина "слоя краски".

prof.uskov в сообщении #1087538 писал(а):

Вы взяли половину грани куба...

Не половину грани, а половину площади поверхности куба - суммарную площадь трёх граней. Естественно, что площадь всей поверхности вдвое больше.
Но если такой подход Вам не нравится, разберитесь с этим:

Lia в сообщении #1087489 писал(а):

Вы его центр в начало координат поместите.

Lia в сообщении #1087494 писал(а):

prof.uskov
Зачем? Стандартно - длину стороны. Вернее, ее половину. Пусть она равна $a$. Объем куба равен $8a^3$. Объем покрашенного куба краской толщины $\Delta a$ равен понятно чему. При $\Delta a\to 0$ получаем $(8a^3)'=24a^2=6\cdot 4a^2$.

Здесь получается вся площадь сразу.

[Munin]

prof.uskov в сообщении #1087538 писал(а):

Производная объема: $V'=8l^2/\sqrt 3$.
Не совпадает, где ошибка?

Не по той величине производную берёте, вам же объясняли. Нельзя просто штрих писать. $dV/da$ и $dV/dl$ - это совершенно разные вещи. Надо понимать, по чему берётся производная. И не по $l,$ на самом деле, и не по $a$ даже, а по $a/2.$

prof.uskov в сообщении #1087538 писал(а):

Ну тогда уж можно вообще теорему предложить: для любого объемного тела, линейный размер которого описывается одним параметром, можно выбрать указанный параметр таким образом, чтобы производная объема тела по этому параметру была равна площади его поверхности. :)

Предложить-то можно много чё, да вот только такая теорема будет неверна.

Ну вот как бы вам объяснить... Давайте возьмём тело более сложной формы. Бублик. Представляете? Он описывается не одним параметром, а несколькими параметрами, обозначим их так:
- $R_1$ - самый внешний радиус бублика;
- $R_2$ - радиус дырки бублика;
- $r$ - радиус поперечного сечения бублика ("меридионального"), то есть, его заполненной части;
- $R_0$ - ещё можно провести ось через заполненные поперечные сечения бублика, она тоже будет окружностью, и это её радиус.
Это, конечно, не все параметры независимые, они связаны между собой соотношениями:

$$R_1=R_2+2r,\qquad R_0=(R_1+R_2)/2,$$

благодаря которым, из этих параметров можно выбрать независимыми любые два, и этого будет достаточно.

Теперь посмотрим на две совершенно разные мысленные операции с бубликом.

1. "Увеличение линейного размера", видимо, как вы его себе представляете. На самом деле, это масштабирование. Допустим, мы увеличили $R_1\to R_1'=R_1+a.$ Что тогда произойдёт с другими параметрами? А вот что:

$R_1\to R_1'=R_1+a$
$R_2\to R_2'=R_2+\tfrac{R_2}{R_1}\cdot a$ - попросту, линейно пропорциональное изменение. И дальше аналогично:
$r\to r'=r+\tfrac{r}{R_1}\cdot a$
$R_0\to R_0'=R_0+\tfrac{R_0}{R_1}\cdot a$

Конечно, при этом объём изменится каким-то образом, и при бесконечно малом увеличении, это изменение будет $dV=V'_a\cdot a.$ Но сравним старый и новый бублик. С боков у него добавился толстый слой. А сверху и снизу - не такой толстый. А внутри, там, где дырка, слой вообще убрался. Ерунда какая-то, и это ни в коем случае не напоминает равномерную покраску - то, что нас интересует.

2. "Наращивание однородного слоя". Именно это соответствует тому, что вы намазали на поверхность бублика какой-то слой (краски), который везде одинаковой толщины. Как при этом меняются параметры? А вот тут уже надо думать, прикладывать мозги. В случае бублика это будет что-то одно, а в случае другой фигуры - что-то другое. И в этом месте как раз происходит анализ формы фигуры, и первые шаги к вычислению её площади поверхности. Присмотримся:

$R_1\to R_1'=R_1+b$
$R_2\to R_2'\ldots$ - тут неясно, давайте пока отложим.
$r\to r'=r+b$ - это должно быть ясно, ведь слой намазывается на сам бублик, и в поперечном сечении соответствует просто увеличению окружности. А теперь, по выписанным соотношениям, можно найти и изменения остальных параметров:
$R_2\to R_2'=R_2-b$ - вот так! дырка от бублика сужается!
$R_0\to R_0'=R_0$ - а "осевая окружность" бублика остаётся неизменной!

И вот теперь уже, можно вычислить изменение объёма, $dV=V'_b\cdot b.$

И только теперь, взяв производную по нужному параметру, вы получите площадь поверхности. Только по $b$! Не по $a$! Не по чему-нибудь ещё, что придёт в голову! Только единственно правильный вариант! И найти его нужно, прикладывая мозги.

[Mihr]

prof.uskov в сообщении #1087538 писал(а):

можно вообще теорему предложить: для любого объемного тела, линейный размер которого описывается одним параметром, можно выбрать указанный параметр таким образом, чтобы производная объема тела по этому параметру была равна площади его поверхности. :)

Именно так, и здесь нет ничего смешного. Возможно только, что этот параметр будет "не нагляден". И его легче будет представить, как некую функцию "наглядных" параметров.
Наивно полагать, что производная объёма по какому угодно параметру даст Вам площадь поверхности. Это означало бы, что производные объёма по всем мыслимым параметрам одинаковы. Вот уж поистине абсурд.
А вообще, проблема в том, что Вы хотите использовать формальный подход, не видя его смысла, а следовательно и области применимости. Этот путь чаще всего ведёт к ошибкам.