Направленность в топологическом пространстве

[Anton_Peplov]

Энгелькинг в книге "Общая топология" дает следующее определение.
Отношение $\leqslant$ на множестве $X$ называется отношением направленности, если выполнены следующие условия:
1. $\forall x \in X \ x \leqslant x$ (отношение рефлексивно)
2. $\forall x, y, z \in X$ из того, что $x \leqslant y$ и $y \leqslant z $, следует, что $x \leqslant z $ (отношение транзитивно).
3. $\forall x, y \in X \ \exists z \in X$ такое, что $x \leqslant z$ и $y \leqslant z$.

Множество, на котором задано отношение направленности, называется напраленным (и почему я не удивлен?).
Но далее происходит нечто любопытное. Энгелькинг говорит нам: рассмотрим функцию $f : A \to X$, где $A$ – непустое направленное множество, $X$ – топологическое пространство. Эту функцию называют направленностью в пространстве $X$. И далее определяется сходящаяся направленность и предел направленности.

Вопрос: зачем так сложно? Ведь всякая $f : A \to X$ задает в своей области значения отношение направленности - достаточно положить, что если $a \leqslant b$, то $f(a) \leqslant f(b)$. Правда, если функция не инъективна, при этом может возникнуть ситуация, когда для $x \ne y$ сразу и $x \leqslant y$, и $y \leqslant x$, но ведь это не запрещено, аксиомы направленности, в отличие от аксиом порядка, не содержат антисимметричности. Почему просто не определить направленность в топологическом пространстве как направленное подмножество этого пространства, и определять предел и сходимость направленности в этих терминах? Зачем держать в голове сразу два множества - и $A$, и $X$, к чему этот мазохизм?

[arseniiv]

Тут должна работать аналогия с последовательностями. Не каждой последовательности $\mathbb N\to X$ соответствует вполне упорядоченное подмножество $X$.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1086193 писал(а):

Зачем держать в голове сразу два множества - и $A$, и $X$, к чему этот мазохизм?

А зачем при определении последовательности действительных чисел "держат в голове" сразу два множества — $\mathbb N$ и $\mathbb R$? Направленность — это обобщение последовательности.

Конкретно, если Вам понадобится говорить о нескольких направленностях с одинаковым отношением направленности, то наличие общей области определения будет очень удобным.

[Anton_Peplov]

Ага, понятно.
Последовательность элементов $X$ - это функция $\mathbb{N} \to X$. Именно функция, а не область ее значения. Поэтому мы говорим, что последовательности $A =\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}... \}$ и $B = \{\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{1}{2}, \frac{1}{4},\frac{1}{2}, \frac{1}{5},\frac{1}{2},... \}$ - разные (в частности, одна сходится, а другая нет), хотя область значения одна и та же. Последовательность - в силу антисимметричности порядка - нельзя свести к линейному порядку, заданному в области значения, если только она не инъективна (т.е. есть равные элементы под разными номерами). Так, если определять линейный порядок в области значения как $n \leqslant m \Rightarrow x_n \leqslant x_m$, то последовательность $B$ не индуцирует никакого порядка, т.к. в индуцированном отношении порядка одновременно получалось бы $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3} \leqslant \frac{1}{2}$. Если же договориться, что отношение порядка задается только первым вхождением элемента, и неважно, под какими номерами он потом встретится, то последовательности $A$ и $B$ индуцируют одно и то же отношение порядка.
Аналогично, направленность как обобщение последовательности в общем случае не сводится к отношению направленности, индуцированному в области значения, что показывают те же самые примеры, ибо линейный порядок - тоже направленность.

[Agressor]

Направленности, на мой взгляд, более грамотно даны у Келли в "Общей топологии". Также там есть, например, материал по топологическим группам, чего нет у Энгелькинга.

[Anton_Peplov]

Спасибо, посмотрю.

[Anton_Peplov]

Принято ли относить конечные направленности к стационарным? Мне кажется это удобным, ведь конечная направленность, как и бесконечная рациональная, обязательно сходится.

-- 28.12.2015, 15:41 --

И еще вопрос: есть ли термины, обозначающие функцию $A \to X$, где $X$ - произвольное топологическое пространство, $A$ -
1) произвольное линейно упорядоченное множество (обобщение последовательности через снятие ограничения на мощность)
2) произвольное частично упорядоченное множество (обобщение предыдущего случая путем замены линейного порядка на частичный)?

Понятно, что 1) - частный случай направленности, в вот 2) - уже нет, т.к. частичный порядок - это не обязательно отношение направленности.

[Linosik]

Было бы легче, если бы Вы указали здесь определения, которые имеете в виду. Возможно, это определение и устоявшееся, но я не помню. Память он такая... понятно какая, в общем.

[Anton_Peplov]

Linosik
Не понял. Определения каких понятий Вы хотите получить?

[Linosik]

Определение стационарной направленности. Я просто не помню. По-моему ответ на ваш вопрос будет всё же положительный, хотя было бы лучше увидеть непосредственно определение.

[alcoholist]

Linosik в сообщении #1086517 писал(а):

Определение стационарной направленности

по логике, это направленность, постоянная с некоторого секунды

(Оффтоп)

или микадунгы

[Anton_Peplov]

Linosik в сообщении #1086517 писал(а):

Определение стационарной направленности.

Я знаю определение стационарной последовательности. Это последовательность, все элементы которой, начиная с некоторого, совпадают. Определения стационарной направленности я не встречал и попытался сконструировать его самостоятельно по аналогии. Для бесконечных направленностей это делается дословно, а вот для конечных возник вопрос. Можно, конечно, сказать, что в направленности из пяти элементов совпадают все элементы, начиная с пятого, но это выглядит некоторой казуистикой. Хотя с точки зрения математической строгости все верно (все элементы с индексом $n \geqslant 5$ совпадают между собой, а что такой элемент только один - ну так он же и совпадает с собой, и нигде не сказано, что их должно быть много).

[Linosik]

Тем более. Я так считаю, что конечные направленности этому определению не противоречат. Просто они на этом некотором элементе заканчиваются. Если понятие находится в согласии с определением, то всё должно быть в порядке.

-- 28.12.2015, 18:45 --

так что я придерживаюсь мнения, что

Linosik в сообщении #1086517 писал(а):

По-моему ответ на ваш вопрос будет всё же положительный

[Linosik]

А почему сообщения прилипают друг к другу, кто мне может объяснить?

[Anton_Peplov]

Когда Ваше сообщение последнее в теме, и Вы добавляете еще одно сообщение, а времени между ними прошло меньше часа или там двух (не помню), они слипаются. Функционал у форума такой.