2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 19:43 


18/06/09
73
После проигрыша всех соревнований Балде бесы (которых было бесконечно много) решили заняться физкультурой и организовали спортивные секции. В каждую секцию входило лишь конечное число бесов, но секций было так много, что в любой бесконечной компании бесов можно было указать по крайней мере двух, записавшихся в одну секцию. Докажите, что за исключением конечного числа бесов лентяев каждый из бесов был записан в бесконечное множество секций.

Решение:
Будем рассматривать множество бесов, как точки на некотором отрезке. Для каждого из бесов можно указать бесконечное множество всевозможных компаний бесов, в которую будет входить выбранный элемент (бес). В каждой из компаний, согласно условия, выберем несколько элементов вместе с данным бесом и поместим в одну секцию. Отсюда следует, что каждый бес из общего множества будет помещён в бесконечное множество секций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 20:20 


27/12/15

1
Моё изумительное доказательство оказалось таким ладным, что я лучше не буду раскрывать его здесь :P

 !  Lia: Замечание за бессодержательное сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 20:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
azmt в сообщении #1086260 писал(а):
Отсюда следует, что каждый бес из общего множества будет помещён в бесконечное множество секций.
Что сильнее, чем требуется задачей (она требует только конечного, но не обязательно нулевого числа лентяев). Это должно вызывать хотя бы однократное подозрение — учебные задачи обычно «честные».

Далее,
azmt в сообщении #1086260 писал(а):
Будем рассматривать множество бесов, как точки на некотором отрезке.
Если как все точки отрезка, то это не пойдёт. Бесконечно много бесов может оказаться счётным множеством, а невырожденный отрезок имеет мощность континуума. Кроме того, бесов может оказаться и больше континуума, и надо обосновать, почему рассуждения с отрезком обобщаются туда. И вообще вы «отрезочность» никак не используете.

Ну и вообще «доказательство» какое-то сноподобное. :-)

-- Вс дек 27, 2015 22:31:08 --

(Так что вопросы «откуда это следует?» почти к каждому утверждению из него выписывать не буду.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 20:31 


18/06/09
73
Вот я тоже сомневаюсь в решении, но пока ничего лучше не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 20:39 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Стоит начать заново, потому что как-то корректировать текущий вариант, видимо, будет долговато. Формулировка задачи имеет вид $F\wedge D\to L$, где $F = {}$
azmt в сообщении #1086260 писал(а):
В каждую секцию входило лишь конечное число бесов
$D = {}$
azmt в сообщении #1086260 писал(а):
в любой бесконечной компании бесов можно было указать по крайней мере двух, записавшихся в одну секцию
а $L = {}$
azmt в сообщении #1086260 писал(а):
за исключением конечного числа бесов лентяев каждый из бесов был записан в бесконечное множество секций
что можно переформулировать как просто «бесов, записанных в конечное число секций, конечное число». Эквивалентны ей утверждения $D\to(F\to L)$ и $D\to(\neg L\to\neg F)$ «при условии $D$, если лентяев бесконечно много, то в какую-нибудь секцию входит бесконечно много бесов». Возможно, это проще доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 21:55 
Аватара пользователя


26/05/12
1576
приходит весна?
arseniiv в сообщении #1086278 писал(а):
Бесконечно много бесов может оказаться счётным множеством
Не может, а так оно и есть. Трудно представить себе существа с континуальным количеством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
B@R5uk в сообщении #1086323 писал(а):
Трудно представить себе существа с континуальным количеством.
А со "счётным количеством" можно?
Л.Кэрролл писал(а):
— А я как раз думала: зачем вам мышеловка, — сказала Алиса. — Трудно представить себе, что на Конях живут мыши…
— Трудно, но можно, — ответил Рыцарь. — А я бы не хотел, чтобы они по мне бегали.


-- 27.12.2015, 22:06 --

Можно от противного... Предположите, что множество "лентяев" бесконечно и придите к противоречию. Попробуйте сконструировать какое-нибудь бесконечное множество, не удовлетворяющее условию задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 22:27 


18/06/09
73
Пусть множество бесов счетное. Для каждого из бесов можно составить бесконечное множество конечных подмножеств (секций), в которые будет входить выбранный бес. Множество всех таких конечных подмножеств счетного множества бесов будет счетным. Множество всех подмножеств счетного множества бесов будет континуальным (несчетным). Таким образом каждый бес входит в бесконечное множество секций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
azmt
Предположим, что ваше рассуждение верно... Представьте, что у счастливой бесовской пары родился бес-младенец. По малости лет ни в одну секцию не записанный. Нарушится ли условие задачи? А ваше утверждение
azmt в сообщении #1086334 писал(а):
каждый бес входит в бесконечное множество секций.
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение27.12.2015, 22:42 


18/06/09
73
В предыдущем ошибочка вышла. Для каждого из бесов надо указать множество бесконечных компаний, откуда мы выбираем указанного беса. Без несчетного множества бесов как-то не получается. :-(
provincialka
Думаю, что нарушится. Получим бесконечное множество бесов, не записанное ни в одну секцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение28.12.2015, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
azmt в сообщении #1086340 писал(а):
Думаю, что нарушится.

Какое из условий?
Вам ведь уже сказали:
arseniiv в сообщении #1086278 писал(а):
Что сильнее, чем требуется задачей (она требует только конечного, но не обязательно нулевого числа лентяев). Это должно вызывать хотя бы однократное подозрение — учебные задачи обычно «честные».
А вы что пытаетесь доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение28.12.2015, 07:59 


18/06/09
73
Пытаюсь доказать, что каждый из бесконечного множества бесов, кроме конечного числа лентяев, войдёт в бесконечное множество секций.
Очевидно, что можно выбрать несколько лентяев и включить их только в конечное число секций.
Если предложить, что каждая из бесконечных пар бесов образует ещё один элемент, то получится бесконечное множество маленьких лентяев, которые не войдут ни в одну секцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение28.12.2015, 10:19 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
От противного попробуйте. Пусть лентяев бесконечное число. Выберем из этого множества счетное подмножество лентяев, оно там есть всегда. Итак, у нас счетное множество лентяев, каждый из них входит лишь в конечное число секций, и в каждой секции конечное число бесов. Дальше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение28.12.2015, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9689
Москва
От противного. Предположим, что каждый из бесов записан в конечное множество секций. Возьмём произвольного беса, затем выберем беса, не состоящего с ним в одной секции. Поскольку в секции конечное число бесов, а бесов бесконечно много, второго беса всегда можно найти. Затем добавим третьего, четвёртого, из тех, что не состоят в одной секции с уже выбранными... Таким образом получим бесконечное множество бесов, из которых никакие два в одной секции не состоят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про бесов
Сообщение28.12.2015, 15:06 


18/06/09
73
Я извиняюсь. А как это доказывает, что каждый из бесов записан в бесконечное множество секций?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group