УрЧП 1 порядка

[SemenO95]

Добрый день.
Пожалуйста, помогите найти отличное от константы решение на некотором множестве ненулевой меры (нарисовать картинку) следующего уравнения:
$u_t + e^{u}u_x = 0,$ $u|_{t = 0} = \left\{\begin{matrix} x, x < 0\\ 2x, x > 0 \end{matrix}\right.$
До этого решал лишь $$u_t + uu_x = 0$ и был уверен, что различий почти нет, но ошибся.

Мы делим полуплоскость $\mathbb{R}\times \mathbb{R}_+$ двумя прямыми: $x = t$ и $x = 2t$, слева кладем $u = 1$, справа $u = 2$. Посредине нужна волна разрежения. Она определяется через автомодельное решение и, если я посчитал верно, имеет вид $u = \ln(x/t)$. Однако эта волна должна быть согласована с границей, а это не так: на левой $x/t = 1, // \ln(x/t) = 0 \neq 1$, на правой $x/t = 2, // \ln(x/t) = \ln2 \neq 2$.
Домножение на константы ничего не изменят и не поправят обе границы обе границы.

С уравнением Хопфа такой проблемы не возникало, так как автомодельное решение и было $u = x/t$. Разве что сдвигалось по $x$ на константу.

(Вероятно, если разберусь с этим, столкнусь с другой проблемой: при соударении волны разрыва с обычной волной получится нерешабельное условие Ренкина-Гюгонио. Но пока важен этот вопрос.)

Заранее спасибо.

[alcoholist]

Разве замена функции $u=\ln v$ не сводит первое уравнение ко второму?

[SemenO95]

alcoholist в сообщении #1086475 писал(а):

Разве замена функции $u=\ln v$ не сводит первое уравнение ко второму?

Спасибо большое. Теперь понял, что там прямые имеют другой коэффициент наклона. Мог бы и сам догадаться, если бы соизволил проделать размышления как в решении уравнения Хопфа.