Задача про бесов

[azmt]

После проигрыша всех соревнований Балде бесы (которых было бесконечно много) решили заняться физкультурой и организовали спортивные секции. В каждую секцию входило лишь конечное число бесов, но секций было так много, что в любой бесконечной компании бесов можно было указать по крайней мере двух, записавшихся в одну секцию. Докажите, что за исключением конечного числа бесов лентяев каждый из бесов был записан в бесконечное множество секций.

Решение:
Будем рассматривать множество бесов, как точки на некотором отрезке. Для каждого из бесов можно указать бесконечное множество всевозможных компаний бесов, в которую будет входить выбранный элемент (бес). В каждой из компаний, согласно условия, выберем несколько элементов вместе с данным бесом и поместим в одну секцию. Отсюда следует, что каждый бес из общего множества будет помещён в бесконечное множество секций.

[DrimTim]

Моё изумительное доказательство оказалось таким ладным, что я лучше не буду раскрывать его здесь

Lia: Замечание за бессодержательное сообщение.

[arseniiv]

azmt в сообщении #1086260 писал(а):

Отсюда следует, что каждый бес из общего множества будет помещён в бесконечное множество секций.

Что сильнее, чем требуется задачей (она требует только конечного, но не обязательно нулевого числа лентяев). Это должно вызывать хотя бы однократное подозрение — учебные задачи обычно «честные».

Далее,

azmt в сообщении #1086260 писал(а):

Будем рассматривать множество бесов, как точки на некотором отрезке.

Если как все точки отрезка, то это не пойдёт. Бесконечно много бесов может оказаться счётным множеством, а невырожденный отрезок имеет мощность континуума. Кроме того, бесов может оказаться и больше континуума, и надо обосновать, почему рассуждения с отрезком обобщаются туда. И вообще вы «отрезочность» никак не используете.

Ну и вообще «доказательство» какое-то сноподобное.

-- Вс дек 27, 2015 22:31:08 --

(Так что вопросы «откуда это следует?» почти к каждому утверждению из него выписывать не буду.)

[azmt]

Вот я тоже сомневаюсь в решении, но пока ничего лучше не придумал.

[arseniiv]

Стоит начать заново, потому что как-то корректировать текущий вариант, видимо, будет долговато. Формулировка задачи имеет вид $F\wedge D\to L$, где $F = {}$

azmt в сообщении #1086260 писал(а):

В каждую секцию входило лишь конечное число бесов

$D = {}$

azmt в сообщении #1086260 писал(а):

в любой бесконечной компании бесов можно было указать по крайней мере двух, записавшихся в одну секцию

а $L = {}$

azmt в сообщении #1086260 писал(а):

за исключением конечного числа бесов лентяев каждый из бесов был записан в бесконечное множество секций

что можно переформулировать как просто «бесов, записанных в конечное число секций, конечное число». Эквивалентны ей утверждения $D\to(F\to L)$ и $D\to(\neg L\to\neg F)$ «при условии $D$, если лентяев бесконечно много, то в какую-нибудь секцию входит бесконечно много бесов». Возможно, это проще доказать.

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #1086278 писал(а):

Бесконечно много бесов может оказаться счётным множеством

Не может, а так оно и есть. Трудно представить себе существа с континуальным количеством.

[provincialka]

B@R5uk в сообщении #1086323 писал(а):

Трудно представить себе существа с континуальным количеством.

А со "счётным количеством" можно?

Л.Кэрролл писал(а):

— А я как раз думала: зачем вам мышеловка, — сказала Алиса. — Трудно представить себе, что на Конях живут мыши…
— Трудно, но можно, — ответил Рыцарь. — А я бы не хотел, чтобы они по мне бегали.

-- 27.12.2015, 22:06 --

Можно от противного... Предположите, что множество "лентяев" бесконечно и придите к противоречию. Попробуйте сконструировать какое-нибудь бесконечное множество, не удовлетворяющее условию задачи.

[azmt]

Пусть множество бесов счетное. Для каждого из бесов можно составить бесконечное множество конечных подмножеств (секций), в которые будет входить выбранный бес. Множество всех таких конечных подмножеств счетного множества бесов будет счетным. Множество всех подмножеств счетного множества бесов будет континуальным (несчетным). Таким образом каждый бес входит в бесконечное множество секций.

[provincialka]

azmt
Предположим, что ваше рассуждение верно... Представьте, что у счастливой бесовской пары родился бес-младенец. По малости лет ни в одну секцию не записанный. Нарушится ли условие задачи? А ваше утверждение

azmt в сообщении #1086334 писал(а):

каждый бес входит в бесконечное множество секций.

?

[azmt]

В предыдущем ошибочка вышла. Для каждого из бесов надо указать множество бесконечных компаний, откуда мы выбираем указанного беса. Без несчетного множества бесов как-то не получается.
provincialka
Думаю, что нарушится. Получим бесконечное множество бесов, не записанное ни в одну секцию.

[provincialka]

azmt в сообщении #1086340 писал(а):

Думаю, что нарушится.

Какое из условий?
Вам ведь уже сказали:

arseniiv в сообщении #1086278 писал(а):

Что сильнее, чем требуется задачей (она требует только конечного, но не обязательно нулевого числа лентяев). Это должно вызывать хотя бы однократное подозрение — учебные задачи обычно «честные».

А вы что пытаетесь доказать?

[azmt]

Пытаюсь доказать, что каждый из бесконечного множества бесов, кроме конечного числа лентяев, войдёт в бесконечное множество секций.
Очевидно, что можно выбрать несколько лентяев и включить их только в конечное число секций.
Если предложить, что каждая из бесконечных пар бесов образует ещё один элемент, то получится бесконечное множество маленьких лентяев, которые не войдут ни в одну секцию.

[INGELRII]

От противного попробуйте. Пусть лентяев бесконечное число. Выберем из этого множества счетное подмножество лентяев, оно там есть всегда. Итак, у нас счетное множество лентяев, каждый из них входит лишь в конечное число секций, и в каждой секции конечное число бесов. Дальше...

[Евгений Машеров]

От противного. Предположим, что каждый из бесов записан в конечное множество секций. Возьмём произвольного беса, затем выберем беса, не состоящего с ним в одной секции. Поскольку в секции конечное число бесов, а бесов бесконечно много, второго беса всегда можно найти. Затем добавим третьего, четвёртого, из тех, что не состоят в одной секции с уже выбранными... Таким образом получим бесконечное множество бесов, из которых никакие два в одной секции не состоят.

[azmt]

Я извиняюсь. А как это доказывает, что каждый из бесов записан в бесконечное множество секций?