Порядок элемента в группе

[timber]

Помогите, пожалуйста, разобраться в понимании условия задачи, а может быть и самого доказательства.

Необходимо доказать, что в группе элемент $a^m$ имеет порядок $n/d$ (где $m,n \in \mathbb{N}$), если известно, что $\gcd(m,n)=d$ и $a$ имеет порядок $n$.

Очевидно, что можно так: $(a^m)^{n/d} = (a^n)^{m/d} = e^{m/d} = e$. Тогда не совсем понятно, зачем в условии сказано про наибольший общий делитель? Для того, чтобы взять $m(n/d)=n(m/d)$?

[Cash]

В определении порядка элемента, кажется, присутствует слово наименьшая или что-то в этом роде...

[timber]

Cash в сообщении #1086307 писал(а):

В определении порядка элемента, кажется, присутствует слово наименьшая или что-то в этом роде...

Да. Это наименьшее натуральное число. Нужно ли тогда дополнительно доказывать, что $n/d$ наименьшее или это следует из условия?

[Sonic86]

timber в сообщении #1086304 писал(а):

Тогда не совсем понятно, зачем в условии сказано про наибольший общий делитель?

Для того, чтобы выделить общие множители с порядком группы. Например рассмотрите элемент $e: e=e^m=(e^m)^{n/d}=e,$ но $e$ имеет порядок несколько меньше. Вот условие с $\gcd$ как раз этот случай учитывается.