показательная функция, логарифмическая

[Forthegreatprogress]

Здравствуйте.
Скажите пожалуйста , почему показательная функция определена только в случае , если $a$ - положительное число, отличное от единицы ?
на калькуляторе свободно посчитались значения , если $a$ меньше нуля.
Тоже самое с логарифмом . $(-3)^3=-27$. Я понимаю , что вопрос школьный , но об этом задумался только сейчас.
$\log$(-3)(-27)=3

Мое мнение:это сделано для упрощения , или потому , что в более крутых разделах высшей математики это необходимо.

[Linosik]

А вы видели, какая она симпатичная? И сложная. Гляньте-ка с вольфрама: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-e%29^x

Между прочим, там комплексные значения, что как бы намекает...

[Forthegreatprogress]

Linosik в сообщении #1086177 писал(а):

А вы видели, какая она симпатичная? И сложная. Гляньте-ка с вольфрама: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-e%29^x

Между прочим, там комплексные значения, что как бы намекает...

то есть ответ : " для упрощения ". Так ?

[Mikhail_K]

Forthegreatprogress в сообщении #1086173 писал(а):

Скажите пожалуйста , почему показательная функция определена только в случае , если $a$ - положительное число, отличное от единицы ?

Нет, не только для упрощения.
А в какие степени Вы умеете возводить отрицательные числа?

[Forthegreatprogress]

Mikhail_K в сообщении #1086182 писал(а):

Forthegreatprogress в сообщении #1086173 писал(а):

Скажите пожалуйста , почему показательная функция определена только в случае , если $a$ - положительное число, отличное от единицы ?

Нет, не только для упрощения.
А в какие степени Вы умеете возводить отрицательные числа?

в любые . Даже в степень $e$

[Mikhail_K]

Позволю себе усомниться в этом. Чему же равно $(-1)^e$?
Ну, я не спорю, конечно, что при большом желании можно этому выражению определённый смысл придать. Но хотелось бы услышать, какой смысл придаёте Вы.

[Forthegreatprogress]

Mikhail_K в сообщении #1086189 писал(а):

Позволю себе усомниться в этом. Чему же равно $(-1)^e$?
Ну, я не спорю, конечно, что при большом желании можно этому выражению определённый смысл придать. Но хотелось бы услышать, какой смысл придаёте Вы.

$1^5$ - это значит , 1 умножить на себя 5 раз.
$1^{1/2}$ - это значит, 1 умножить на себя (1/2) раза.
$(-1)^e$ - это значит , -1 умножить на себя e раз.
Чисто наглядно , наверное это представить невозможно. Но чисто формально , я ответил. Более того , скажу честно , в математике я слаб , и возможно этому можно придать какой-либо другой смысл(по аналогии например представления синуса в виде степенного ряда).

[ИСН]

Ничего Вы не ответили. Как это умножить на себя e раз? Да и как это 1/2 раза, если уж на то пошло? Взял руку, занёс ручку над листом, записал пол-буквы и остановился?

-- менее минуты назад --

Forthegreatprogress в сообщении #1086191 писал(а):

Более того , скажу честно , в математике я слаб , и возможно этому можно придать какой-либо другой смысл

Тут уж, извините, одно из двух: или учить её, или удовлетвориться ответом на любой вопрос "потому что математика".

[Forthegreatprogress]

ИСН в сообщении #1086198 писал(а):

Ничего Вы не ответили. Как это умножить на себя e раз? Да и как это 1/2 раза, если уж на то пошло? Взял руку, занёс ручку над листом, записал пол-буквы и остановился?

я вот и учу. Ответа найти не могу .
Какой будет ответ в данном случае , объясните пожалуйста

[Mihr]

Forthegreatprogress в сообщении #1086191 писал(а):

$1^{1/2}$ - это значит, 1 умножить на себя (1/2) раза.
$(-1)^e$ - это значит , -1 умножить на себя e раз.
Чисто наглядно , наверное это представить невозможно.

Ради простоты можете считать это ответом и на Ваш собственный изначальный вопрос.

Forthegreatprogress в сообщении #1086191 писал(а):

Но чисто формально , я ответил.

Если любую фразу, сказанную в свой черёд, независимо от наличия или отсутствия в этой фразе смысла, формально считать ответом - тогда да. Формально Вы ответили.

Но всё же на Ваш исходный вопрос приблизительно ответить можно. Если допускать в качестве основания показательной функции отрицательные числа, то в ряде случаев (в определённом смысле слова даже в большинстве случаев) значение такой функции не будет действительным числом. А комплексные числа в средней школе не изучаются. Если где-то и изучаются, то лишь на уровне начального знакомства.

[arseniiv]

Forthegreatprogress в сообщении #1086191 писал(а):

это значит, 1 умножить на себя (1/2) раза.

Нее, не очень-то. Вот неплохой комментарий на Math.StackExchange по этому поводу (если вдруг будет непонятно, пишите): http://math.stackexchange.com/a/56710.

Параллельно немного истории (которая в школьном учебнике, в принципе, есть ) насчёт $a^u$:
[N] Натуральные степени — это повторное умножение, тут не отнять.
[−N] Отрицательные целые степени — ну ладно, если $a$ имеет обратный по умножению элемент, то мы можем множить на себя обратный.
[0] В степени ноль получаем единицу. Правда, если $a$ не обратим, это иногда оспаривается (насчёт $0^0$ на форуме куча страниц исписана).
[/N] Рациональные числа — сложновато. Возьмём пока $u = 1/n,\, n\in\mathbb Z, n>0$. Когда существует и единственно решение $x$ уравнения $x^n = a$, можно считать $a^{1/n} = x$. Это ещё реже выполняется даже среди вещественных чисел (а уж тем более в каком-то другом месте): отрицательные числа никак не хотят быть ничьим квадратом или потому и другой чётной степенью. Ладно, простим им и сделаем дырку в области определения функций $x\mapsto x^{1/\text{чётное}}$. Дальше, иногда таких решений, напротив, больше одного — [M]. Тогда иногда мы можем более-менее естественно выбрать одно из них и назвать «$1/n$-й степенью». Но это уже не столь хорошо, сколь было до этого, надо помнить. И теперь мы в любом случае уже не умножаем основание степени — лето кончилось.
[Q] Ладно, а что с остальными рациональными числами? С $u = -1/n$ можно поступить, скомбинировав подходы [−N] и [/N]. С $u = m/n$ можно попробовать поступить, сохраняя работающее выше (в случаях кроме [M]) соотношение $a^{uv} = (a^u)^v$. Но, вот незадача, иногда может оказаться $(a^u)^v\ne (a^v)^u$. Ладно, обойдём это как-нибудь.
[R] Вещественные числа… упс. Вещественное число не обязательно является отношением двух целых $m/n$. Но хотя бы является пределом некоторой рациональночисленной последовательности $(q_i)$ (не единственной, конечно). То, что предел соответствующей последовательности $(a^{q_i})$ будет равным для всех последовательностей $(q_i)$, имеющих интересующий нас одинаковый предел, и что он вообще будет — вопрос отдельного доказательства. Постойте-ка, у нас тут откуда-то появились экспонента и логарифм — может, определить $a^u \equiv e^{u\ln a}$? Может быть…
[C] Комплексные… не, вы определённо смеётесь.

Это не следует считать технически полным и корректным описанием. За ним надо идти в учебник.

Mihr в сообщении #1086204 писал(а):

Если допускать в качестве основания показательной функции отрицательные числа, то в ряде случаев (в определённом смысле слова даже в большинстве случаев) значение такой функции не будет действительным числом. А комплексные числа в средней школе не изучаются.

…И притом в общем случае мы можем не знать алгебру A, включающую интересующую нас другую алгебру, в которой мы чего-то не можем определить, но могли бы что-то про это сказать в A. Или разные расширения дадут разные результаты (скучные примеры: корни из единицы и: кватернионы, матрицы, какая-нибудь симпатичная алгебра Клиффорда…).

[Mihr]

arseniiv,
я ведь сказал, что отвечаю приблизительно. Не пугайте ребёнка, пожалуйста

[ewert]

arseniiv в сообщении #1086208 писал(а):

Постойте-ка, у нас тут откуда-то появились экспонента и логарифм — может, определить $a^u \equiv e^{u\ln a}$? Может быть…

Не стоит. Определение показательной функции никак не связано с основанием натуральных логарифмов.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1086209 писал(а):

Не пугайте ребёнка, пожалуйста

Не мог удержаться.

[Mihr]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1086225 писал(а):

Не мог удержаться.

Эге... Решили поиграть в Бармалея?