Леонтьев А.Ф. Теорема

[RikkiTan1]

Доброго времени суток!
В книге "Целые функции. Ряды экспонент" Леонтьева А.Ф. на 18 стр. есть такая теорема:
Пусть функция $F(z)\not\equiv0$ регулярна в круге $|z|<1$ и там по модулю ограничена. Если у $F(z)$ имеется бесконечно много нулей $a_1, a_2,..., 0<|a_n|\uparrow$, то

$$\sum\limits_{i=1}^\infty(1-|a_n|)<\infty$$

Непонятно про какие нули говорится в теореме. Вроде, если у целой функции бесконечно нулей, то единственная предельная точка у этих нулей - бесконечность, поэтому общий член ряда, который в теореме не стремится к нулю.
Если все нули находятся внутри круга $|z|<1$, то по теореме единственности функция тождественный ноль.
Расскажите, пожалуйста суть теоремы

[Brukvalub]

1. Обсуждается не целая функция, а функция, голоморфная только в открытом круге.
2. Ничто не мешает нулям такой функции накапливаться к границе области голоморфности, нули не должны иметь предельной точки, внутренней для области голоморфности.