2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.10.2015, 18:27 


29/01/14
8
Докажите, что существуют выпуклые тела $M_1$ и $M_2$, обладающие следующими свойствами:
а) для каждой плоскости $P$ проекции $M_1$ и $M_2$ на $P$ равны;
б) $M_1$ и $M_2$ не равны.
(задача творчества А. Кузьминых)
Вот эту задачу я хочу решить. Стоит сказать, что я считаю телом. Тело --- ограниченное непустое множество точек, такое, что замыкание его внутренности совпадает с ним самим. Как-то так. Также стоит сказать, что значит "равны". Это значит с точностью до движения. Отражать нельзя (хотя, если кто-то найдёт красивый пример с отражениями --- я не против). Чуть позже напишу свои мысли (ничего содержательного пока нет, хотя есть идея (вероятно ложная, кто знает), что искать надо среди тел постоянной ширины).

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.10.2015, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Да просто взять шар и шар без центра...

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.10.2015, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10425
Hogtown
mike239x в сообщении #1065491 писал(а):
существуют выпуклые тела

Brukvalub в сообщении #1065517 писал(а):
Да просто взять шар и шар без центра...

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.10.2015, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Признаю - дважды неправ, поскольку то, что я назвал, не только не выпукло, но и не является телом в понимании ТС (ибо не нужно делать сразу несколько тдел) :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.10.2015, 19:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
mike239x в сообщении #1065491 писал(а):
Также стоит сказать, что значит "равны". Это значит с точностью до движения.
Это не слишком слабо? Может, оставить из движений только параллельные переносы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение26.10.2015, 16:39 


29/01/14
8
arseniiv в сообщении #1065525 писал(а):
mike239x в сообщении #1065491 писал(а):
Также стоит сказать, что значит "равны". Это значит с точностью до движения.
Это не слишком слабо? Может, оставить из движений только параллельные переносы?

Вот, хороший вопрос, и на него у меня имеется ответ.
А именно, если проекции совпадают при параллельном переносе, то исходные тела равны.
Вот неформальное доказательство: находим у тела "угол", подвешиваем тело за этот "угол" и крутим тело вокруг прямой, проходящей через "угол". При этом у всех пролучающихся проекций наивысшая точка --- вершина "угла". Теперь есть второе тело с такими же проекциями, но, возможно, смещёнными. Однако у этих проекций тоже есть наивысшая точка, которая должна быть наивысшей точкой второго тела. То есть на деле у второго тела тоже есть "угол", и совместив в провтранстве углы двух тел, понимаем, что проекции должны совпадать. Итак, получили, что вращая тела вокруг одной оси, имеем равные проекции. Тогда и тела равны.
Если расписывать, долго выходит, и картинки надо, но вроде понятно написал. Самое непонятное --- что же такое "угол". "Угол" --- точка, такая, что имеется касательная плоскость, которая касается тела только по этой вершине. И последнее утверждение не очевидно. Но оно верно и я умею его доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.12.2015, 16:03 


29/01/14
8
Ура, решил. Итак: Берём любую достаточно кривую выпуклую фигуру, и к ней --- эту фигуру наизнанку. То есть $M$ и $-1 \cdot M$.
Теперь смотрим на тени. Они тоже стали наизнанку.
"$ -1\cdot$" не является движением в $\mathbb{R}^3$, но в $\mathbb{R}^2$ "$ -1\cdot$" суть просто вращение. Итого: Тела не равны, а проекции равны. Победа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.12.2015, 16:55 


01/12/11

1047

(Оффтоп)

В двумерном случае для двух неравных треугольников с одной равной стороной и равными высотами к этой стороне, но меньше этой стороны, можно подобрать такие их положения, что проекции на заданную прямую будут равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.12.2015, 20:45 
Аватара пользователя


26/05/12
1274
приходит весна?
Brukvalub в сообщении #1065517 писал(а):
Да просто взять шар и полушар
Поправил, теперь работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.12.2015, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
B@R5uk в сообщении #1084805 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1065517 писал(а):
Да просто взять шар и полушар
Поправил, теперь работает.
Нет, не работает. Спроектируйте полушар на плоскость, перпендикулярную плоскости, отрезавшей полушар от шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.12.2015, 21:45 
Аватара пользователя


26/05/12
1274
приходит весна?
Не внимательно прочитал условие. И не понял решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.
Сообщение22.12.2015, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10425
Hogtown
В двумерии будет такая фигура постоянной ширины $2$:

\begin{tikzpicture}

\draw[red,dotted] (2,0) circle (2);
\draw[red,dotted] (0,0) circle (2);
\draw[red,dotted] (1,1.73205080756888) circle (2);

\filldraw[fill=cyan, draw=blue] (2,0) arc (0:60:2) arc (120:180:2) arc (240:300:2);
\draw[blue] (0,0)--(2,0)--(1,1.73205080756888)--(0,0);

\filldraw[fill=cyan, draw=blue] (4,0.86602540378444)   circle (1);
\end{tikzpicture}


а вторая-это круг радиуса $1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group