Выпуклые тела с одинаковыми проекциями.

[mike239x]

Докажите, что существуют выпуклые тела $M_1$ и $M_2$, обладающие следующими свойствами:
а) для каждой плоскости $P$ проекции $M_1$ и $M_2$ на $P$ равны;
б) $M_1$ и $M_2$ не равны.
(задача творчества А. Кузьминых)
Вот эту задачу я хочу решить. Стоит сказать, что я считаю телом. Тело --- ограниченное непустое множество точек, такое, что замыкание его внутренности совпадает с ним самим. Как-то так. Также стоит сказать, что значит "равны". Это значит с точностью до движения. Отражать нельзя (хотя, если кто-то найдёт красивый пример с отражениями --- я не против). Чуть позже напишу свои мысли (ничего содержательного пока нет, хотя есть идея (вероятно ложная, кто знает), что искать надо среди тел постоянной ширины).

[Brukvalub]

Да просто взять шар и шар без центра...

[Red_Herring]

mike239x в сообщении #1065491 писал(а):

существуют выпуклые тела

Brukvalub в сообщении #1065517 писал(а):

Да просто взять шар и шар без центра...

[Brukvalub]

Признаю - дважды неправ, поскольку то, что я назвал, не только не выпукло, но и не является телом в понимании ТС (ибо не нужно делать сразу несколько тдел)

[arseniiv]

mike239x в сообщении #1065491 писал(а):

Также стоит сказать, что значит "равны". Это значит с точностью до движения.

Это не слишком слабо? Может, оставить из движений только параллельные переносы?

[mike239x]

arseniiv в сообщении #1065525 писал(а):

mike239x в сообщении #1065491 писал(а):

Также стоит сказать, что значит "равны". Это значит с точностью до движения.

Это не слишком слабо? Может, оставить из движений только параллельные переносы?

Вот, хороший вопрос, и на него у меня имеется ответ.
А именно, если проекции совпадают при параллельном переносе, то исходные тела равны.
Вот неформальное доказательство: находим у тела "угол", подвешиваем тело за этот "угол" и крутим тело вокруг прямой, проходящей через "угол". При этом у всех пролучающихся проекций наивысшая точка --- вершина "угла". Теперь есть второе тело с такими же проекциями, но, возможно, смещёнными. Однако у этих проекций тоже есть наивысшая точка, которая должна быть наивысшей точкой второго тела. То есть на деле у второго тела тоже есть "угол", и совместив в провтранстве углы двух тел, понимаем, что проекции должны совпадать. Итак, получили, что вращая тела вокруг одной оси, имеем равные проекции. Тогда и тела равны.
Если расписывать, долго выходит, и картинки надо, но вроде понятно написал. Самое непонятное --- что же такое "угол". "Угол" --- точка, такая, что имеется касательная плоскость, которая касается тела только по этой вершине. И последнее утверждение не очевидно. Но оно верно и я умею его доказывать.

[mike239x]

Ура, решил. Итак: Берём любую достаточно кривую выпуклую фигуру, и к ней --- эту фигуру наизнанку. То есть $M$ и $-1 \cdot M$.
Теперь смотрим на тени. Они тоже стали наизнанку.
"$ -1\cdot$" не является движением в $\mathbb{R}^3$, но в $\mathbb{R}^2$ "$ -1\cdot$" суть просто вращение. Итого: Тела не равны, а проекции равны. Победа.

[Skeptic]

(Оффтоп)

В двумерном случае для двух неравных треугольников с одной равной стороной и равными высотами к этой стороне, но меньше этой стороны, можно подобрать такие их положения, что проекции на заданную прямую будут равны.

[B@R5uk]

Brukvalub в сообщении #1065517 писал(а):

Да просто взять шар и полушар

Поправил, теперь работает.

[Brukvalub]

B@R5uk в сообщении #1084805 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1065517 писал(а):

Да просто взять шар и полушар

Поправил, теперь работает.

Нет, не работает. Спроектируйте полушар на плоскость, перпендикулярную плоскости, отрезавшей полушар от шара.

[B@R5uk]

Не внимательно прочитал условие. И не понял решения.

[Red_Herring]

В двумерии будет такая фигура постоянной ширины $2$:

\begin{tikzpicture} \draw[red,dotted] (2,0) circle (2); \draw[red,dotted] (0,0) circle (2); \draw[red,dotted] (1,1.73205080756888) circle (2); \filldraw[fill=cyan, draw=blue] (2,0) arc (0:60:2) arc (120:180:2) arc (240:300:2); \draw[blue] (0,0)--(2,0)--(1,1.73205080756888)--(0,0); \filldraw[fill=cyan, draw=blue] (4,0.86602540378444) circle (1); \end{tikzpicture}

а вторая-это круг радиуса $1$