О пустом множестве как элементе множества

[alex_dorin]

Является ли пустое множество элементом множества, полученного из объединения (суммы) некоторого непустого множества и пустого множества ?

[alcoholist]

насколько я понимаю, оно является элементом $\{\emptyset\}$, но не подмножеством $\emptyset$
Будет интересно послушать специалиста: давно я не мыслил логично

[whitefox]

Только если пустое множество было элементом исходного непустого множества.

[arseniiv]

alex_dorin
Вы ведь легко можете и сами доказать $\forall x.\; x\cup\varnothing = x$.

[alex_dorin]

arseniiv, верно ли я понял -
Для любого непустого множества множество, полученного из объединения (суммы) этого множества и пустого множества содержит в качестве элемента пустое множество.

[NSKuber]

alex_dorin
Нет. Правильно будет так:
"Для любого непустого (да и пустое сойдёт) множества множество, полученное из объединения (суммы) этого множества и пустого множества совпадает с этим множеством."

[Aritaborian]

$\{a\} \cup \varnothing = \{a\}$, но $\{a, \varnothing \} \cup \{b\} = \{a, b, \varnothing \}$. Так?

[arseniiv]

alex_dorin
Странно, что вы занимаетесь формальными выводами в ZFC/NBG и т. п., а однозначно читаемую формулу читаете неверно.

[whitefox]

alex_dorin в сообщении #1084466 писал(а):

Для любого непустого множества множество, полученного из объединения (суммы) этого множества и пустого множества содержит в качестве элемента пустое множество.

Из каких элементов состоит множество, полученное в результате объединения двух других множеств?

[Sicker]

whitefox в сообщении #1084544 писал(а):

Из каких элементов состоит множество, полученное в результате объединения двух других множеств?

Из элементов этих множеств?

[arseniiv]

Sicker
Вопрос-то к автору темы.

[alex_dorin]

whitefox в сообщении #1084421 писал(а):

Только если пустое множество было элементом исходного непустого множества.

-да, это так.

Я хотел имея непустое множество, так его расширить (модернизировать), чтобы пустое множество было элементом этого нового множества. Применение объединения
исходного непустого множеством с пустым множеством для этой цели не подходит.
Подскажите, наверное надо сделать объединение с синглетоном пустого множества ?

[arseniiv]

Верно подмечено! И выводится в одну строчку:

$$x\in A\vee x=c \leftrightarrow x\in A\vee x\in\{c\} \leftrightarrow x\in A\cup\{c\}.$$

[alex_dorin]

Спасибо всем, особо whitefox, arseniiv