Итнегрирование блинами и сферическими секторами

[Seergey]

Прошу прокомментировать мои действия.
Хочу найти площадь полусферы радиуса $a$ двумя способами:
$S=\int_{0}^{a} 2 \pi \sqrt{a^2-z^2} dz={\pi^2 a^2 \over 2}$

$S=\int_{\pi \over 2}^{\pi} 2 \pi a \sin \theta a d\theta={2 \pi a^2}$

Почему получается по-разному. Как правильно выбрать элемент площади?
А также в первом случае поверхность вроде бы больше и охватывает вторую, однако результат интегрирования говорит об обратном

[iifat]

Откуда, не пойму, корень в первом интеграле? И откуда квадрат у $\pi$?
И откуда вообще второй интеграл?
И почему у обоих такие странные размерности?

[Seergey]

iifat в сообщении #1083476 писал(а):

Откуда, не пойму, корень в первом интеграле? И откуда квадрат у $\pi$?
И откуда вообще второй интеграл?
И почему у обоих такие странные размерности?

Размерности как раз не странные: квадрат длины.

Рассуждал я так: если брать концентрические окружности длинной $2 \pi R$, домножать на некоторую высоту и складывать эти элементарные площади с учетом что радиус окружности меняется, в связи с тем что это полусфера по закону $R=\sqrt{a^2-z^2}$ в первом случае и $R=a \sin{\theta}$ во втором

[Brukvalub]

Seergey в сообщении #1083470 писал(а):

Почему получается по-разному

Потому, что если каждый раз писАть разную ерунду, то получается разная ерунда.

Seergey в сообщении #1083470 писал(а):

Как правильно выбрать элемент объема?

Зачем выбирать элемент объема, если ищется площадь?
Вот этого я понять совсем не смог:

Seergey в сообщении #1083470 писал(а):

Хочу найти площадь полусферы радиуса $a$ двумя способами

Seergey в сообщении #1083470 писал(а):

А также в первом случае поверхность вроде бы больше и охватывает вторую,

То есть, по вашему мнению, одна и та же полусфера от вычислений все больше скукоживается?

-- Сб дек 19, 2015 14:33:58 --

Seergey в сообщении #1083480 писал(а):

Рассуждал я так: если брать концентрические окружности длинной $2 \pi R$, домножать на некоторую высоту и складывать эти элементарные площади с учетом что радиус окружности меняется

А почитать учебник и понять, что так вычислять нельзя, не пробовали?

[Seergey]

Цитата:

Зачем выбирать элемент объема, если ищется площадь?

я имел ввиду элемент площади (исправил)

Цитата:

То есть, по вашему мнению, одна и та же полусфера от вычислений все больше скукоживается?

Получается что так. Как в задаче с длиной окружности вписанной в квадрат когда срезают углы квадрата и его длина стремится к длине окружности только визуально.

Как доказать что первым способом нельзя вычислять?

[Ms-dos4]

Seergey
Не выдумывайте там, где работают элементарные методы. Берёте поверхностный интеграл, да считаете по определению.
Ещё проще отпараметризовать сферу, тогда поверхностный интеграл примет вид (это в общем виде) $\[\int {\int {\sqrt {EG - {F^2}} } } dudv\]$, (где $ \[E,G,F\]$ - коэффициенты первой квадратичной формы). Для полусферы получится вообще элементарно $\[S = {R^2}\int\limits_0^\pi {\sin \theta d\theta } \int\limits_0^\pi {d\varphi } \]$
P.S.Не работает потому, что это полная чушь.

[Brukvalub]

Seergey в сообщении #1083484 писал(а):

Как доказать что первым способом нельзя вычислять?

Наберите в поисковике "сапог Шварца", и вы увидите контрпример, показывающей, что неправильно пытаться аппроксимировать "кривую" площадь плоскими кусочками, опирающимися краями на криволинейную поверхность. Правильная аппроксимация - проекциями кусочков на касательные плоскости к кусочкам. Все это изложено в любом учебнике по мат.анализу или по элементарной диф.геометрии, например, см. 3-й том трехтомника Фихтенгольца.

[iifat]

Seergey в сообщении #1083480 писал(а):

Размерности как раз не странные

Прошу прощения, с объёмом перепутал. Впрочем, по существу вам ответили.

Seergey в сообщении #1083484 писал(а):

Как в задаче с длиной окружности

Длина кривой тут несколько отличается от площади поверхности. Длину кривой определяют, помнится, как предел длины ломаной, вершины которой лежат на кривой; для поверхности так не выйдет.

[popolznev]

(Оффтоп)

Цитата:

Итнегрирование блинами и сферическими секторами

А ещё - пирогами и сушёными грибами.