2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 13:50 
Прошу прокомментировать мои действия.
Хочу найти площадь полусферы радиуса $a$ двумя способами:
$S=\int_{0}^{a} 2 \pi \sqrt{a^2-z^2} dz={\pi^2 a^2 \over 2}$

$S=\int_{\pi \over 2}^{\pi} 2 \pi a \sin \theta  a d\theta={2 \pi a^2}$

Почему получается по-разному. Как правильно выбрать элемент площади?
А также в первом случае поверхность вроде бы больше и охватывает вторую, однако результат интегрирования говорит об обратном

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 14:23 
Откуда, не пойму, корень в первом интеграле? И откуда квадрат у $\pi$?
И откуда вообще второй интеграл?
И почему у обоих такие странные размерности?

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 14:29 
iifat в сообщении #1083476 писал(а):
Откуда, не пойму, корень в первом интеграле? И откуда квадрат у $\pi$?
И откуда вообще второй интеграл?
И почему у обоих такие странные размерности?


Размерности как раз не странные: квадрат длины.

Рассуждал я так: если брать концентрические окружности длинной $2 \pi R$, домножать на некоторую высоту и складывать эти элементарные площади с учетом что радиус окружности меняется, в связи с тем что это полусфера по закону $R=\sqrt{a^2-z^2}$ в первом случае и $R=a \sin{\theta}$ во втором

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 14:32 
Аватара пользователя
Seergey в сообщении #1083470 писал(а):
Почему получается по-разному

Потому, что если каждый раз писАть разную ерунду, то получается разная ерунда.
Seergey в сообщении #1083470 писал(а):
Как правильно выбрать элемент объема?


Зачем выбирать элемент объема, если ищется площадь?
Вот этого я понять совсем не смог:
Seergey в сообщении #1083470 писал(а):
Хочу найти площадь полусферы радиуса $a$ двумя способами

Seergey в сообщении #1083470 писал(а):
А также в первом случае поверхность вроде бы больше и охватывает вторую,

То есть, по вашему мнению, одна и та же полусфера от вычислений все больше скукоживается? :shock:

-- Сб дек 19, 2015 14:33:58 --

Seergey в сообщении #1083480 писал(а):
Рассуждал я так: если брать концентрические окружности длинной $2 \pi R$, домножать на некоторую высоту и складывать эти элементарные площади с учетом что радиус окружности меняется

А почитать учебник и понять, что так вычислять нельзя, не пробовали?

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 14:40 
Цитата:
Зачем выбирать элемент объема, если ищется площадь?

я имел ввиду элемент площади (исправил)

Цитата:
То есть, по вашему мнению, одна и та же полусфера от вычислений все больше скукоживается? :shock:

Получается что так. Как в задаче с длиной окружности вписанной в квадрат когда срезают углы квадрата и его длина стремится к длине окружности только визуально.

Как доказать что первым способом нельзя вычислять?

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 14:42 
Seergey
Не выдумывайте там, где работают элементарные методы. Берёте поверхностный интеграл, да считаете по определению.
Ещё проще отпараметризовать сферу, тогда поверхностный интеграл примет вид (это в общем виде) $\[\int {\int {\sqrt {EG - {F^2}} } } dudv\]$, (где $ \[E,G,F\]$ - коэффициенты первой квадратичной формы). Для полусферы получится вообще элементарно $\[S = {R^2}\int\limits_0^\pi  {\sin \theta d\theta } \int\limits_0^\pi  {d\varphi } \]$
P.S.Не работает потому, что это полная чушь.

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 14:45 
Аватара пользователя
Seergey в сообщении #1083484 писал(а):
Как доказать что первым способом нельзя вычислять?

Наберите в поисковике "сапог Шварца", и вы увидите контрпример, показывающей, что неправильно пытаться аппроксимировать "кривую" площадь плоскими кусочками, опирающимися краями на криволинейную поверхность. Правильная аппроксимация - проекциями кусочков на касательные плоскости к кусочкам. Все это изложено в любом учебнике по мат.анализу или по элементарной диф.геометрии, например, см. 3-й том трехтомника Фихтенгольца.

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 18:40 
Seergey в сообщении #1083480 писал(а):
Размерности как раз не странные
Прошу прощения, с объёмом перепутал. Впрочем, по существу вам ответили.
Seergey в сообщении #1083484 писал(а):
Как в задаче с длиной окружности
Длина кривой тут несколько отличается от площади поверхности. Длину кривой определяют, помнится, как предел длины ломаной, вершины которой лежат на кривой; для поверхности так не выйдет.

 
 
 
 Re: Итнегрирование блинами и сферическими секторами
Сообщение19.12.2015, 18:58 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Цитата:
Итнегрирование блинами и сферическими секторами
А ещё - пирогами и сушёными грибами.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group