Применение дифференциальных уравнений.

[timots]

Идея применить свойство линейного дифференциального уравнения вместо малой теоремы Ферма возник у меня при попытке доказать великую теорему Ферма. И все для того чтобы ввести в доказательство элемент дедукции. Ведь применение малой теоремы Ферма основано на свойствах простых чисел. А общей формулы для распределения простых чисел не существует
Потом возникла идея использовать дифференциальное уравнения в других разделах математики, где используются свойства простых чисел. Например, в алгебраической геометрии, где используются поля с положительной характеристикой.
Возник вопрос. Почему дифференциальное уравнение не используется в алгебраической геометрии? Дифференцированье? Да! Но дифференцированье и дифференциальное уравнение не одно и то же. Дифференциальное уравнения имеют алгебраическую структуру,- схему.
$\vdash y^{(n)}=y$
Там где при дифференцировании применяется Якобиан, при использовании дифференциальных уравнений применяется определитель Вронского.
Предположение. На основе линейно независимых функций $y, y’, y’’, \cdots, y^{(n-1)} $ полученных при решении уравнения $y^{(n)}=y$ может быть получена система из n уравнений с $n$ неизвестными или построить базис.
Доказательство. Доказательство основано на свойствах корней характеристического уравнения $\sqrt[n]1$ и возможности построить определитель Вронского.
Свойства:
1.Множество всех корней характеристического уравнения из 1 является мультипликативной абелевой группой порядка n.
2. Функция, полученная из решений дифференциального уравнения, является суммой n частных линейно независимых производных, на основе которых можно построить определитель Вронского.
Построим на основании частных решений определитель Вронского:
$W(y_1(x), y_2(x),\cdots, y_n(x))=\begin{vmatrix}y_1(x)&y_2(x)&\cdots&y_n(x)\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\y_1(x)^{n-1}&y_2(x)^{n-1}&\cdots&y_n(x)^{n-1}\end{vmatrix}\neq0$

Знак неравенства означает, что определитель не может равняться нулю ни при каких значениях x.
Если заданы начальные условия $y_{x=x_0}=y_0, y’_{x=x_0}=y’_0, \cdots, y^{(n-1)}_{x=x_0}=y^{(n-1)}_0$

О линейно независимых решениях n порядка говорят, что они образуют фундаментальную систему решений (базис).
В частности, если коэффициенты $C_1, C_2, \cdots, C_n$
постоянны, то система уравнений имеет единственное решение.
Тогда для конкретных случаев общее доказательство является однозначное решение системы из n уравнений с n неизвестными.
Конкретное применение дифференциального уравнения.
Выразим через функции полученные из решения дифференциального уравнения коэффициенты и корни линейного уравнения n степени.
Пусть заданы начальные условия $C_1=C_2=\cdots=C_n=1, x=0$
Построим на их основе матрицу.
$A_1=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\1&\xi&\cdots&\xi^{n-1}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\1&\xi ^{n-1}&\cdots&\xi \end{pmatrix}$
$\xi_k$ корень $n$ степени из единицы, $k=1,\cdots, n-1$ $\xi_k=\xi^k$
$\det\neq0$
Если элементы матрицы рассматривать как коэффициенты системы из n уравнений. Тогда $C_1, C_2,\cdots,C_n$ являются неизвестными этой системы.
Тогда свободные члены многочленов можно рассматривать как коэффициенты и корни линейного уравнения.
Выразим через многочлены формулы Виета.

$a_n= \alpha_1\alpha_2\ldots \alpha_n=C_1+C_2+\ldots+C_n\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ a _1=\alpha_1+\alpha_2+\ldots+ \alpha_n=C_1+C_2\zeta^{n-1}+\ldots+C_n\zeta$

Многочлен n степени имеет ровно n корней в комплексном поле которые тоже можно выразить через полученные уравнения. $\alpha_1=y, \alpha_2=y’, \ldots, \alpha_n=y^{(n-1)} $
Метод Ньютона является наиболее часто употребляемым методом для отыскания
корней уравнения, где многочлен рассматривается как функция, кривая которой пересекает ось 0X производная, которая является угловым коэффициентом касательной к этой кривой. Но производную мы можем получить из дифференциального уравнения. Если метод Ньютона рассматривать как бинарную операцию, то метод Ньютона можно рассматривать через дифференциальное уравнение второй степени.
$ \frac{y’’}{y’}=\frac{y}{y’}=\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)}{x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)}=x-\alpha_1$
Метод Ньютона пригоден как для алгебраических, так и для трансцендентных уравнений.
Коэффициенты и корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел.
Комплексное поле отображается на комплексной плоскости, где каждое число изображается точкой на прямоугольной системе координат. Где по абсциссе откладываются действительная часть числа, а по оси ординат мнимая часть числа.
Для изображения комплексного числа необходимо знать начальную точку отсчета и две масштабные единицы действительную $ (1) $ и мнимую $ (i) $.
Ниже приведены результаты взятые мной из учебника из раздела ТФКП и дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение в комплексной области является источником трансцендентных функций.
$w’=w$
В классе полиномов такая функция существовать не может. Следовательно, эта функция может быть только трансцендентной.
В комплексной области все функции является рациональной функции от показательной функции $e^z$ и только в действительной области принимают самостоятельной смысл тригонометрическая и гиперболический смысл $y’’=y$
C_1e^x+C_2e^{-x}=y $,
$y’’=-y $, $ C_1\operatorname{sin}x+C_2\operatorname{cos}x=y$
То, что все это взято из учебника еще не значит, что здесь нет место для дискуссии.
Обычно ТФКП используется как удобный метод при расчетах. Я предлагаю рассматривать комплексную плоскость как локальную систему координат (базис) для взаимодействия и n измерений.
Для меня вводить трех мерность через аксиомы то же самое что наделить взаимодействие разумом. Тем более что три измерения можно выразить через кватернионы.
Используя то что дифференцированье не является линейной операцией и используя свойства дифференциального уравнения и координаты действительной и мнимой единицы на комплексной плоскости$ (1, 0), (i, 0) $. можно вывести кватернионы.
$(0,1), (o, i)$

[arseniiv]

По-моему, это не статья, а поток сознания.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Просьба сформулировать доказываемое утверждение, если, конечно, Вы что-то доказываете.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: третья правка не сделала содержимое существенно лучше.

[provincialka]

timots в сообщении #1083390 писал(а):

Множество всех корней характеристического уравнения из 1

По моему, прелестно )

timots в сообщении #1083390 писал(а):

Для меня вводить трех мерность через аксиомы то же самое что наделить взаимодействие разумом.

timots в сообщении #1083390 писал(а):

Используя то что дифференцированье не является линейной операцией

Остальное не осилила