Задача Римана. Проверка решения.

[Bacon]

Проверьте пожалуйста:
Задача:
Пусть $\[{T^ + }\]$ - единичный круг на комплексной плоскости переменного $\[z = x + iy\]$
$\[{T^ + } = \{ z:|z| < 1\} \]$,$\[{T^ - } = \bar C\backslash ({T^ + } \cup L)\]$, где
$\[L = \{ t:|t| = 1\} \]$. Требуется найти две аналитические функции: $\[{\Phi ^ + }(z)\]$ - аналитическую в $\[{T^{^ + }}\]$ и $\[{\Phi ^ - }(z)\,\]$ - аналитическую в $\[{T^{^ - }}\]$. $\[({\Phi ^ - }(\infty ) = 14)\]$.Если граничные значения на $L$ удовлетворяют условию:
$\[{\Phi ^ + }(t) = {t^{ - 4}}{\Phi ^ - }(t) + 14{t^{14}} - 4{t^{ - 14}}\,\]$
Решение:
В данном случае: $\[G(t) = \frac{1}{{{t^4}}}\]$,$\[g(t) = 14{t^{14}} - 4{t^{ - 14}}\,\]$
Индекс задачи: $\[\kappa = Ind(\frac{1}{{{t^4}}}) = - 4 < 0 \Rightarrow \]$ Не является разрешимой по Гахову.
Канонические функции одномерной задачи Римана: $\[{X^ + }(z) = 1,{X^ - }(z) = {z^4}\]$
$\[G(t) \ne 0\]$ и индекс $\[\kappa > - 14 \Rightarrow \]$ задача в классе кусочно аналитических функций, имеющих в точке $\[z = \infty \]$ полюс порядка $n$ безусловно разрешима и ее общее решение можно задать формулой:
$\[{\Phi ^ \pm }(z) = {X^ \pm }(z)\{ \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_L {\frac{{g(\tau )}}{{{X^ + }(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}} + {P_{n + \chi }}(z)\} } \]$
$\[\int\limits_L {\frac{{g(\tau )}}{{{X^ + }(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}} = } \int\limits_L {14{t^{14}} - 4{t^{ - 14}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}} = 14{z^{14}}(z \in {T^ + }),\,\,\,\frac{4}{{{z^{14}}}}(\,} \,z \in {T^ - })\]$
Искомые функции:
$\[{\Phi ^ + }(z) = 14{z^{14}} + {C_0} + {C_1}z + ... + {C_{10}}{z^{10}}\]$
$\[{\Phi ^ - }(z) = {z^4}(\frac{4}{{{z^{14}}}} + {C_0} + {C_1}z + ... + {C_{10}}{z^{10}})\]$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Cформулируйте
- задачу
- предмет обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Утундрий]

Вы знаете, Bacon, с одной стороны это вроде как даже "круто", что вот, мол, не сумел решить задачу Римана (стотышьпиццотвсклзн) и обращаюсь поэтому к вам! (исамимынеместные...) Абер, с другой стороны, всё равно ведь сие есть токмо вульгарное попрошайничество. Суть ведь не в том, насколько продвинута теория, которую вы не выучили. Суть в том, что вы не выучили!

[Bacon]

Утундрий
Поставленная выше задача носит методический характер. И я всего лишь хотел, чтобы кто-нибудь проверил мои выкладки, потому что в некоторых вещах я сомневаюсь. Хотя, не описывая теорию, которой я пользовался, может это и бессмысленно. Ваш сарказм мне не понятен.

[Утундрий]

Bacon в сообщении #1083076 писал(а):

Хотя, не описывая теорию, которой я пользовался, может это и бессмысленно.

Да нет, описали. Ссылки на Гахова достаточно.

Bacon в сообщении #1083076 писал(а):

Ваш сарказм мне не понятен.

Да мне просто непонятно, как можно знать так много и суметь столь мало. На ум приходит только одно объяснение: сложили лапки слишком рано. Напрягитесь и разберитесь сами!

[Bacon]

Утундрий
Спасибо, попытаюсь понять в чем дело, так и знал что, что наворотил я здесь.

[Bacon]

Посыпаю голову пеплом. Не могу понять, почему здесь нельзя использовать теорему, которую я использовал:
Теорема.
Если $\[G(t) \ne 0\]$ и индекс $\[\kappa = IndG(t) \ge - n\]$ ($n$ - порядок полюса.), то задача в классе кусочно аналитических функций, имеющих в точке $\[z = \infty \]$ полюс порядка $n$ безусловно разрешима и ее общее решение можно задать формулой:
$\[{\Phi ^ \pm }(z) = {X^ \pm }(z)\{ \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_L {\frac{{g(\tau )}}{{{X^ + }(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau - z}} + {P_{n + \chi }}(z)\} } \]$
Разве она не освобождает от проверки свободного члена на $\[ - \kappa - 1\]$ условий разрешимости?
У Гахова в "Краевых задачах" на случай односвязной области при решении неоднородной задачи я так и не понял распространяется ли указанный там алгоритм, если задача Римана имеет на бесконечности полюс. Чувствую, что запутался. Направьте, пожалуйста по верному пути.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Откуда такая святая уверенность, что на форуме есть спец по краевым задачам для аналитических функций? Впрочем, глянув на аватару, снимаю вопрос...