2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Римана. Проверка решения.
Сообщение17.12.2015, 19:24 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Проверьте пожалуйста:
Задача:
Пусть $\[{T^ + }\]$ - единичный круг на комплексной плоскости переменного $\[z = x + iy\]$
$\[{T^ + } = \{ z:|z| < 1\} \]$,$\[{T^ - } = \bar C\backslash ({T^ + } \cup L)\]$, где
$\[L = \{ t:|t| = 1\} \]$. Требуется найти две аналитические функции: $\[{\Phi ^ + }(z)\]$ - аналитическую в $\[{T^{^ + }}\]$ и $\[{\Phi ^ - }(z)\,\]$ - аналитическую в $\[{T^{^ - }}\]$. $\[({\Phi ^ - }(\infty ) = 14)\]$.Если граничные значения на $L$ удовлетворяют условию:
$\[{\Phi ^ + }(t) = {t^{ - 4}}{\Phi ^ - }(t) + 14{t^{14}} - 4{t^{ - 14}}\,\]$
Решение:
В данном случае: $\[G(t) = \frac{1}{{{t^4}}}\]$,$\[g(t) = 14{t^{14}} - 4{t^{ - 14}}\,\]$
Индекс задачи: $\[\kappa  = Ind(\frac{1}{{{t^4}}}) =  - 4 < 0 \Rightarrow \]$ Не является разрешимой по Гахову.
Канонические функции одномерной задачи Римана: $\[{X^ + }(z) = 1,{X^ - }(z) = {z^4}\]$
$\[G(t) \ne 0\]$ и индекс $\[\kappa  >  - 14 \Rightarrow \]$ задача в классе кусочно аналитических функций, имеющих в точке $\[z = \infty \]$ полюс порядка $n$ безусловно разрешима и ее общее решение можно задать формулой:
$\[{\Phi ^ \pm }(z) = {X^ \pm }(z)\{ \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_L {\frac{{g(\tau )}}{{{X^ + }(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau  - z}} + {P_{n + \chi }}(z)\} } \]$
$\[\int\limits_L {\frac{{g(\tau )}}{{{X^ + }(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau  - z}} = } \int\limits_L {14{t^{14}} - 4{t^{ - 14}}\frac{{d\tau }}{{\tau  - z}} = 14{z^{14}}(z \in {T^ + }),\,\,\,\frac{4}{{{z^{14}}}}(\,} \,z \in {T^ - })\]$
Искомые функции:
$\[{\Phi ^ + }(z) = 14{z^{14}} + {C_0} + {C_1}z + ... + {C_{10}}{z^{10}}\]$
$\[{\Phi ^ - }(z) = {z^4}(\frac{4}{{{z^{14}}}} + {C_0} + {C_1}z + ... + {C_{10}}{z^{10}})\]$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.12.2015, 20:03 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Cформулируйте
- задачу
- предмет обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.12.2015, 20:27 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Римана. Проверка решения.
Сообщение17.12.2015, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Вы знаете, Bacon, с одной стороны это вроде как даже "круто", что вот, мол, не сумел решить задачу Римана (стотышьпиццотвсклзн) и обращаюсь поэтому к вам! (исамимынеместные...) Абер, с другой стороны, всё равно ведь сие есть токмо вульгарное попрошайничество. Суть ведь не в том, насколько продвинута теория, которую вы не выучили. Суть в том, что вы не выучили!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Римана. Проверка решения.
Сообщение17.12.2015, 22:27 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Утундрий
Поставленная выше задача носит методический характер. И я всего лишь хотел, чтобы кто-нибудь проверил мои выкладки, потому что в некоторых вещах я сомневаюсь. Хотя, не описывая теорию, которой я пользовался, может это и бессмысленно. Ваш сарказм мне не понятен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Римана. Проверка решения.
Сообщение17.12.2015, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Bacon в сообщении #1083076 писал(а):
Хотя, не описывая теорию, которой я пользовался, может это и бессмысленно.

Да нет, описали. Ссылки на Гахова достаточно.
Bacon в сообщении #1083076 писал(а):
Ваш сарказм мне не понятен.

Да мне просто непонятно, как можно знать так много и суметь столь мало. На ум приходит только одно объяснение: сложили лапки слишком рано. Напрягитесь и разберитесь сами!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Римана. Проверка решения.
Сообщение17.12.2015, 23:14 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Утундрий
Спасибо, попытаюсь понять в чем дело, так и знал что, что наворотил я здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Римана. Проверка решения.
Сообщение18.12.2015, 18:22 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Посыпаю голову пеплом. Не могу понять, почему здесь нельзя использовать теорему, которую я использовал:
Теорема.
Если $\[G(t) \ne 0\]$ и индекс $\[\kappa  = IndG(t) \ge  - n\]$ ($n$ - порядок полюса.), то задача в классе кусочно аналитических функций, имеющих в точке $\[z = \infty \]$ полюс порядка $n$ безусловно разрешима и ее общее решение можно задать формулой:
$\[{\Phi ^ \pm }(z) = {X^ \pm }(z)\{ \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_L {\frac{{g(\tau )}}{{{X^ + }(\tau )}}\frac{{d\tau }}{{\tau  - z}} + {P_{n + \chi }}(z)\} } \]$
Разве она не освобождает от проверки свободного члена на $\[ - \kappa  - 1\]$ условий разрешимости?
У Гахова в "Краевых задачах" на случай односвязной области при решении неоднородной задачи я так и не понял распространяется ли указанный там алгоритм, если задача Римана имеет на бесконечности полюс. Чувствую, что запутался. Направьте, пожалуйста по верному пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Римана. Проверка решения.
Сообщение18.12.2015, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Откуда такая святая уверенность, что на форуме есть спец по краевым задачам для аналитических функций? :shock: Впрочем, глянув на аватару, снимаю вопрос...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group