2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 22:55 
Задача состоит в том, чтобы вывести значение суммы ряда:
$\sum_{i=1}^\infty{\frac{i}{F_i}}$
где $F_i$ - i-тое число Фибоначчи.
Сходимость ряда доказывается легко, а вот формулу для суммы я вычислить не могу. Удалось найти только вывод для формулы, когда в числителе стоит не i, а 1.
Очень желательно, чтобы вывод был доступен человеку, изучавшему математику на уровне технического ВУЗа.

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 22:59 
Аватара пользователя
sashaama в сообщении #1082801 писал(а):
Удалось найти только вывод для формулы, когда в числителе стоит не i, а 1.

Может тогда продемонстрируете?

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 23:06 
Там статья на три страницы текста. Отдельно рассматриваются четные и нечетные члены суммы. Боюсь, что на то, чтобы переписать статью в форуме, у меня уйдет пара дней непрерывной работы.

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 23:08 
Аватара пользователя
А, удалось найти в инете, а не самому... Тогда дайте хотя бы ссылку на статью.

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 23:12 
Аватара пользователя
А ссылку-то хоть можно? А то ведь сумма $\sum_{i = 0}^{\infty} \dfrac{1}{F_i}$ не выражается через элементарные, хочется понять, чего Вам будет достаточно.

А если нужно численно, то можно просто оценить хвост ряда, пользуясь тем, что отношение чисел фиббоначи примерно $\varphi$.

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 23:16 
Вот ссылка (там, естественно, по-английски):
http://www.fq.math.ca/Scanned/15-1/greig2.pdf

-- 16.12.2015, 14:20 --

Да численно-то не проблема... Я просто надеялся, что можно вывести формулу.
Я же говорю, на уровне, доступном для выпускника технического ВУЗа (к тому же много лет назад).

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 23:20 
Аватара пользователя
Гм... может в 1977 году это и было актуально, но сейчас и.м.х.о. проще посчитать тупо в лоб.

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 23:36 
Цитата:
А ссылку-то хоть можно? А то ведь сумма $\sum_{i = 0}^{\infty} \dfrac{1}{F_i}$ не выражается через элементарные, хочется понять, чего Вам будет достаточно

Тогда другой вопрос: а существует ли простое доказательство того, что она не выражается через элементарные функции?

 
 
 
 Re: Можно ли найти вывод суммы?
Сообщение16.12.2015, 23:55 
Аватара пользователя
Таких доказательств в принципе мало. Я не имел в виду, что есть доказательство, что она не выражается через элементарные функции, я имел в виду, что такого выражения я не нашел на OEIS и Mathworld, и там он выражается через суммы разных известных неэлементарных функций, которые скорее всего независимы.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group