докажите неопределенность СЛУ

[Mbl_BCE_yMPEM]

Докажите, что если система линейных уравнений имеет два решения, то их бесконечно много.
Понятно что полусумма решений--тоже решение, таким образом можно построить бесконечное множество решений, но ведь ими наверное все многообразие решений не исчерпывается?

[Brukvalub]

Да, не исчерпывается.

[deep blue]

Надо найти нетривиальное решение приведенной СЛАУ используя два решения исходной. Умножить его на параметр и прибавить произвольное частное решение исходной СЛАУ. Получим однопараметрическую формулу решения исходной системы. Это будет общим решением если ранг ее матрицы на единицу меньше числа неизвестных.

[popolznev]

deep blue в сообщении #1082589 писал(а):

Надо найти нетривиальное решение приведенной СЛАУ используя два решения исходной. Умножить его на параметр и прибавить произвольное частное решение исходной СЛАУ. Получим однопараметрическую формулу решения исходной системы. Это будет общим решением если ранг ее матрицы на единицу меньше числа неизвестных.

Что-то вы очень усложнили вопрос и привлекли кучу ненужных в данном случае понятий (например, ранг). Человеку проще надо.

А "приведенная" - это значит однородная система, соответствующая исходной?

-- 16.12.2015, 11:21 --

Brukvalub в сообщении #1082534 писал(а):

Да, не исчерпывается.

Автор темы не объяснил, каким "таким" способом он может построить бесконечное множество решений. Если "такой" - это какой надо "такой", то может и исчерпываться.

[Brukvalub]

popolznev в сообщении #1082617 писал(а):

Автор темы не объяснил, каким "таким" способом он может построить бесконечное множество решений.

А мужики-то - не знают!

Mbl_BCE_yMPEM в сообщении #1082533 писал(а):

Понятно что полусумма решений--тоже решение, таким образом можно построить бесконечное множество решений

А это тогда - что, если не объяснение?

[popolznev]

Brukvalub в сообщении #1082621 писал(а):

Mbl_BCE_yMPEM в сообщении #1082533 писал(а):

Понятно что полусумма решений--тоже решение, таким образом можно построить бесконечное множество решений

А это тогда - что, если не объяснение?

Здесь неясно, что имеется в виду: предлагает ли автор брать выпуклую оболочку двух решений, или ещё чего.

[Brukvalub]

popolznev в сообщении #1082623 писал(а):

Здесь неясно, что имеется в виду

Ну, даже и не знаю, что и возразить на такой убойный аргумент...Вроде бы, совершенно ясно, что автор предлагает генерировать новые решения, беря каждый раз всевозможные полусуммы уже имеющихся решений, вроде бы ясно, что таким способом снова получаются решения, и каждый раз будут возникать новые, ранее не имевшиеся, решения, вроде бы ясно, что так можно сделать сколь угодно много раз, получив, тем самым, счетное множество различных решений.
Но, тем не менее "Здесь неясно, что имеется в виду"

[popolznev]

Brukvalub в сообщении #1082631 писал(а):

Вроде бы, совершенно ясно, что автор предлагает генерировать новые решения, беря каждый раз всевозможные полусуммы уже имеющихся решений

Вот мне эта мысль, честно, даже в голову не пришла. Первое, что я подумал - всевозможные выпуклые комбинации. Видимо, вы правильно догадались, что автор имел в виду, но назвать это "совершенно ясным"...

[Brukvalub]

popolznev в сообщении #1082633 писал(а):

Вот мне эта мысль, честно, даже в голову не пришла.

А прочитать стартовый пост - тоже не смогли? И мою из него цитату - также "ниасилили"? Тогда просто беда!
Процитирую на всякий случай в 659 раз:

Mbl_BCE_yMPEM в сообщении #1082533 писал(а):

Понятно что полусумма решений--тоже решение, таким образом можно построить бесконечное множество решений

[deep blue]

popolznev в сообщении #1082617 писал(а):

deep blue в сообщении #1082589 писал(а):

Надо найти нетривиальное решение приведенной СЛАУ используя два решения исходной. Умножить его на параметр и прибавить произвольное частное решение исходной СЛАУ. Получим однопараметрическую формулу решения исходной системы. Это будет общим решением если ранг ее матрицы на единицу меньше числа неизвестных.

Что-то вы очень усложнили вопрос и привлекли кучу ненужных в данном случае понятий (например, ранг). Человеку проще надо.

Так ранг никак не используется при выводе формулы. Он используется при ответе на второй вопрос - исчерпывает ли полученное множество решений все многообразие решений.
Без понятия приведенной системы трудно обойтись, разве что формулу написать сразу, при обосновании которой все равно используется понятие приведенной системы. Впрочем, лучше напишите свой вариант, пусть у ТС будет выбор .

popolznev в сообщении #1082617 писал(а):

А "приведенная" - это значит однородная система, соответствующая исходной?

Ну да, думал как ее назвать, заглянул в учебник, а там написано приведенная. Одним учебником на всех не угодишь)

[Евгений Машеров]

Для того, чтобы ответить на заданный вопрос, и не более того, достаточно рассмотреть линейные комбинации решений
$x_\alpha=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2$, где $x_1\ne x_2$ и $Ax_1=b$, $Ax_2=b$
Тогда $Ax_\alpha=\alpha Ax_1+(1-\alpha)Ax_2=\alpha b+(1-\alpha)b=b$ и $x_\alpha$ есть решение при любом $\alpha$
Чтобы узнать, исчерпываются ли все решения этими - уже надо привлечь ранг матрицы..

[Brukvalub]

Евгений Машеров в сообщении #1082659 писал(а):

Для того, чтобы ответить на заданный вопрос

достаточно заметить, что разность двух решений дает ненулевое решение соответствующей однородной системы, умножая это ненулевое решение на произвольное вещ. число и прибавляя одно из исходных решений, мы получим одномерное многообразие решений.

[deep blue]

Евгений Машеров тоже вариант. Получается та же формула о которой говорим мы с Brukvalub только вид сбоку: $x_\alpha=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2=x_2+(x_1-x_2)\alpha$.
Хочется заметить напоследок по поводу всяких оболочек, что многообразие всех решений СЛАУ никогда (кроме случая с одним решением) не является выпуклой оболочкой в отличии от многогранников решений СЛАУ в неотрицательных числах. Да и линейной оболочкой оно является только если система однородная.

[popolznev]

Brukvalub, я именно об этой фразе и ее возможном понимании и говорю с самого начала. Так что я и сам мог бы её процитировать в 874-й раз.

-- 17.12.2015, 02:07 --

deep blue в сообщении #1082648 писал(а):

Так ранг никак не используется при выводе формулы. Он используется при ответе на второй вопрос - исчерпывает ли полученное множество решений все многообразие решений.

Здесь есть маленький нюанс: ТС не спрашивал, совпадает ли множество всех решений системы с множеством, которое построено вами (или кем угодно). Он это спрашивал только применительно к своей конструкции.

deep blue в сообщении #1082648 писал(а):

Впрочем, лучше напишите свой вариант, пусть у ТС будет выбор .

А мой вариант такой же, как уже здесь предложили: если есть два решения, то через них надо провести прямую, и эта вся прямая будет состоять из решений. Это самое естественное доказательство того, что если есть два решения, то их и бесконечно много.

deep blue в сообщении #1082648 писал(а):

popolznev в сообщении #1082617 писал(а):

А "приведенная" - это значит однородная система, соответствующая исходной?

Ну да, думал как ее назвать, заглянул в учебник, а там написано приведенная. Одним учебником на всех не угодишь)

Понятно. Я просто такого не встречал.

[arseniiv]

deep blue
Есть ещё аффинная оболочка, тут как раз она.