функция Римана

[Бодигрим]

Не вижу, чем ваше высказывание отличается от определения непрерывности по Профессору Снэйпу. О чем спорили-то?

[arqady]

У него там

$$\delta>0,$$

а это не обязательно для непрерывной функции.

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

arqady писал(а):

Ну да, которое найдётся по $\varepsilon$ может быть любым.

Нет, не любым!

Нет любым!

Возьмём $f(x)=x$. Эта функция непрерывна в любой точке действительной прямой (надеюсь, данный тезис не вызывает возражений).

Пусть $x_0 = 0$ и $\varepsilon = 1$. Вы утверждаете, что $\delta > 0$, для которого справедливо утверждение

$$ \forall x (|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon) $$

может быть любым. Ну а раз любым, то и равным, к примеру, $2$. И что, Вы хотите сказать, будто

$$ \forall x (|x| < 2 \rightarrow |x| < 1)? $$

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

arqady писал(а):

У него там

$$\delta>0,$$

а это не обязательно для непрерывной функции.

Зато обязательно для того, чтобы функцию можно было назвать непрерывной.

Утверждение

$$ (\forall \varepsilon > 0)\exists \delta \forall x (|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon) $$

выполнено для любой фунции, как непрерывной, так и разрывной, и рассматривать его как определение непрерывной функции нельзя!

[arqady]

Я хочу сказать, что для непрерывных функций множество значений

$$\delta$$

это

$$\mathbb R$$

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

Зато обязательно для того, чтобы функцию можно было назвать непрерывной.

С этим согласен!

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Я хочу сказать, что для непрерывных функций множество значений

$$\delta$$

это

$$\mathbb R$$

В приведённом мною выше примере для $\varepsilon = 1$ значение $\delta$ не может быть равно $2$. Однако $2 \in \mathbb{R}$. Как это согласуется с Вашим утверждением?

[arqady]

$$\epsilon$$

можно и поменять, да и непрерывные функции ведь бывают разные. С этим, я надеюсь, Вы согласитесь.

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Непрерывные функции ведь бывают разные. С этим, я надеюсь, Вы согласитесь.

Да, непрерывные функции бывают разные. Но если Вы высказываете какое-то утверждение, в котором фигурирует термин "непрерывная функция" без дополнительных пояснений, ограничивающих класс рассматриваемых функций, то, согласно общепринятой практике, утверждение предполагается справедливым для всех непрерывных функций.

Добавлено спустя 3 минуты 4 секунды:

arqady писал(а):

$$\epsilon$$

можно и поменять...

Это Вам ничем не поможет. Рассмотрите функцию

$$ f(x) = \begin{cases} 1/x, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$

Она непрерывна в точке $x_0=1$. Однако любое подходящее $\delta$ для этого $x_0$ при любом $\varepsilon > 0$ не может превосходить $1$.

[arqady]

Договорённости хорошее дело! Люблю договариваться. Просто заметил, что если функция непрерывна, то можно не конкретизировать про дельту. Больше ничего. Всё остальное - дело вкуса.
Ваш пример интересен, но не по делу. Повторюсь, функции ведь разные бывают.
Давайте упростим задачу. Вы согласны с утверждением, что множество значений

$$\delta$$

для непрерывных функций - это

$$\mathbb R$$

$$?$$

Да или нет?

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Договорённости хорошее дело! Люблю договариваться. Просто заметил, что если функция непрерывна, то можно не конкретизировать про дельту. Больше ничего. Всё остальное - дело вкуса.

То, что Вы заметили, записывается следующим образом:

$$ (\exists f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}))\exists x_0 (\forall \varepsilon > 0) \forall \delta \forall x (|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon) $$

Должен сказать, что Вы выбрали далеко не лучший способ высказать своё замечание

Добавлено спустя 16 минут 16 секунд:

arqady писал(а):

Давайте упростим задачу. Вы согласны с утверждением, что множество значений

$$\delta$$

для непрерывных функций - это

$$\mathbb R$$

$$?$$

Да или нет?

Нет, не согласен. Выше я уже привёл пример функции, непрерывной в точке $1$, для которой $\delta$ не может быть любым.

Если же Вы подразумеваете,что $\delta$ может быть любым не для произвольной непрерывной функции, а для какой-то конкретной (например, для функции $f(x) = \mathrm{Const}$), то Вы должны сказать: "для некоторой непрерывной функции", а не "для непрерывных функций". Иначе Ваш способ высказывать утверждения идёт вразрез с общематематической практикой.

[arqady]

Думается мне, Вы сами себе противоречите. По Вашему, выходит, что утверждение, которое было сформулировано неверно и тут же приводите пример функции, подтверждающий это утвержление.
Как в книге: Профессор Снэйп Дамбалдора не убивал - он его только добил!

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Думается мне, Вы сами себе противоречите. По Вашему, выходит, что утверждение, которое было сформулировано неверно и тут же приводите пример функции, подтверждающий это утвержление.

Нет, я себе не противоречу. Это Вы упорно пытаетесь "спасти лицо".

Какое конкретно утверждение из сформулированных мною я впоследствии назвал неверным? Желательно с точными цитатами из моих сообщений, а не с Вашей интерпретацией того, что я якобы высказывал.

Добавлено спустя 11 минут:

Понимаете, любое утверждение о "непрерывных функциях" вообще согласно общепринятой практике признаётся истинным тогда и только тогда, когда оно справедливо для всех непрерывных функций, а не только для некоторых из них. Например, утверждение

Непрерывная в каждой точке отрезка функция достигает максимального на этом отрезке значения

истинно,поскольку справедливо для всех функций, непрерывных на отрезке. А утверждение

Непрерывные функции дифференцируемы

ложно, поскольку бывает функции, которые непрерывны и не дифференцируемы. Несмотря на многочисленные примеры дифференцируемых функций, которые, естественно, будут также и непрерывными. Истинным в данном случае будет утверждение

Некоторые непрерывные функции дифференцируемы

[arqady]

Профессор Снэйп писал(а):

Какое конкретно утверждение из сформулированных мною я впоследствии назвал неверным? Желательно с точными цитатами из моих сообщений, а не с Вашей интерпретацией того, что я якобы высказывал.

Как Вы переворачиваете!
Говорилось о двух вещах.
Первая:

Профессор Снэйп писал(а):

arqady писал(а):

Давайте упростим задачу. Вы согласны с утверждением, что множество значений

$$\delta$$

для непрерывных функций - это

$$\mathbb R$$

$$?$$

Да или нет?

Нет, не согласен.

Ну и мне позвольте с Вами не согласиться!

Вторая вещь про которую я Вас косвенно спрашивал ( и мне показалось, что Вы согласились ), но спрошу напрямую:
согласны ли Вы, что если

$$f$$

непрерывная функция, то

$$ \forall \varepsilon > 0\exists \delta \forall x:|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon $$

И прошу Вас, не приводите больше примеров, которые не имеют отношения к делу. Отнеситесь только к этим двум вышеупомянутым утверждениям.

Уфф! Общение в интернете - тяжёлый труд. У беждён, при личной встрече мы бы поняли друг друга в течении считанных секунд. А так ... 2 дня обсуждаем вещь, которая выеденного яйца не стоит. Но в Новосибирск не поеду - холодно у вас там.
Уж лучше Вы к нам.

[незваный гость]

Рискуя прослыть занудой, готов утверждать, что в смысле определения

arqady писал(а):

$ \forall \varepsilon > 0\exists \delta \forall x |x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon $

все функции непрерывны, поскольку для $\forall f \, \exists \delta = -1: \, \forall \varepsilon \, \forall x \ |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$

[arqady]

незваный гость писал(а):

:evil:
Рискуя прослыть занудой, готов утверждать, что в смысле определения

arqady писал(а):

$ \forall \varepsilon > 0\exists \delta \forall x |x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon $

все функции непрерывны, поскольку для $\forall f \, \exists \delta = -1: \, \forall \varepsilon \, \forall x \ |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$

Речь не об этом. Речь о том, что

arqady писал(а):

если

$$f$$

непрерывная функция, то

$$ \forall \varepsilon > 0\exists \delta \forall x:|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon $$

[bot]

Браво! Я тоже был
"функция непрерывна, если ..." - это определение и if читается как iff.
"если функция непрерывна, то ..." - это ведь импликация ...
Ну а импликация $\exists \delta > 0 \rightarrow \exists \delta$ - тривиальна.