Приближение показательной функции

[Руст]

Пусть а действительное число, P(x) полином степени n. Доказать, что

$$ \max_{0\le j\le n+1} |a^j-P(j)|\ge (\frac{|a-1|}{2})^{n+1}.$$

Докажите, что это неулучшаемая оценка.

[Руст]

Докажите, что для любого приближения функции $a^x$ многочленами степени меньше n, точность не меньше

$$\delta =\min_{P(x)\in R(x),degP(x)<n}\max_{i=0,1,..,n}|P(i)-a^i|= |\frac{a-1}{2}|^n.$$

[maxal]

Руст, не забывайте ставить обратный слэш \ в $\TeX$-записи перед стандартными функциями типа: \max \min \cos \ln \log и т.д. Иначе формулы выглядят криво.

Что же до этой задачи, вы ее уже давали, только надо вспомнить где

Добавлено спустя 8 минут 55 секунд:

// оказывается здесь, объединяю темы

[Kid Kool]

maxal писал(а):

Руст, не забывайте ставить обратный слэш \ в $\TeX$-записи перед стандартными функциями типа: \max \min \cos \ln \log и т.д. Иначе формулы выглядят криво.

А еще лучше использовать теги /left и /right. Тогда формула $|\frac{a-1}{2}|^n$ превращается в более читаемую $\left|\frac{a-1}{2}\right|^n$

[Руст]

Раз это старая проблема и до сих пор здесь не решена. Приведу авторское решение в стиле Юстаса.
Пусть требуется найти лучшее приближение функции $f(x)$ в точках $x=0,1,...,n$ полиномом степени меньше n. По аналогии с тем, что я вводил операторы сдвига и квантового дифференцирования в задаче Арнольда об случайных последовательностях, рассмотрим операторы сдвига $St:f(x)\to f(x+1)$ и квантового дифференцирования $D=St-1$ (1 -тождественный оператор). Обозначим через $\delta (x)=f(x)-P(x)$, $P(x)$ искомый полином.
Запишем очевидное тождество: $D^n\delta(x)=D^nf(x)-D^nP(x)=D^nf(x)$ (многочлен степени меньше n, поэтому $D^nP(x)\equiv =0$). Запишем это ещё раз при x=0:

$$(St-1)^n\delta(0)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}St^{n-i}\delta(0)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^i\delta(n-i)= D^nf(0).$$

Пусть $\delta =\max_{0\le i\le n}|\delta(n-i)|$. То из последнего получаем, что
$\delta \ge |(\frac{D}{2})^nf(0)|$ и для лучшего достигается равенство и $\delta(x)=(-1)^{n-i}\delta sign(D^n f(0)).$ При этом лучший полином единственный и записывается в виде:

$$P(x)=\sum_{i=0}^{n-1}((-1)^i(f(n-i)-\delta \theta)\binom{x}{i}.$$

Здесь $\theta=(-1)^nsign(D^nf(0))$ - знаk, $\binom{x}{i}=\frac{x(x-1)...(x+1-i}{i!},\binom{x}{0}\equiv 1$ полиномы.
Для функции $f(x)=a^x$ получаем $St(a^x)=a(a^x)$ соответственно $Da^x=(a-1)a^x$, поэтому

$$\delta=|(\frac{D}{2})^nf(0)|=(|\frac{a-1}{2}|)^n$$

, что даёт требуемую оценку.

[maxal]

Рустем, кстати, для неопределенных по умолчанию операторов (например, sign в тексте выше), можно использовать такую конструкцию: \mathop{\rm sign}
Пример:

$$\delta \mathop{\rm sign}(D^n f(0))$$

Как видите здесь и шрифт правильный (за это отвечает \rm) и разметка выверена как для других операторов (за это отвечает \mathop{}).

[Kid Kool]

Руст писал(а):

По аналогии с тем, что я вводил операторы сдвига и квантового дифференцирования в задаче Арнольда об случайных последовательностях, рассмотрим операторы сдвига $St:f(x)\to f(x+1)$ и квантового дифференцирования $D=St-1$ (1 -тождественный оператор).

Руст, не все в курсе относительно задачи Арнольда и того, какие и как вы вводили там операторы. Не могли бы Вы расшифровать, что означает оператор квантового дифференцирования?

[Руст]

Оттуда взята только аналогия ввода этих операторов. Если хотите ознакомится с квантовым дифференцированием лучше посмотреть книжку (боюсь ошибиться в цитировании ) Шень "Квантовый анализ". Там вводится два вида таких дифференцирования, мультипликативный $Df=\frac{f(qx)-f(x)}{q-1}$ (сдвиг по мультипликативной группе) и фддитивной (который обычно используется в численных методах) $Df=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Здесь у нас масштаб h=1 и $D=St-1=exp(\frac{d}{dx})-1.$

[Jnrty]

Руст писал(а):

$$\delta=|(\frac{D}{2})^nf(0)|=(|\frac{a-1}{2}|)^n$$

Руст, извините за настойчивость советов, но Kid Kool правильно рекомендовал использовать команды \left и \right:

$$\delta=\left|\left(\frac{D}{2}\right)^nf(0)\right|=\left(\left|\frac{a-1}{2}\right|\right)^n$$

$$\delta=\left|\left(\frac{D}{2}\right)^nf(0)\right|=\left(\left|\frac{a-1}{2}\right|\right)^n$$