2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти предел
Сообщение06.12.2015, 16:18 
Аватара пользователя
Господа. Есть такой предел:
$$\exists \frac{d^2}{dx^2}f(a)$$
$$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=?$$
Получается неопределенность вида $\frac{0}{0}$
Лопиталь тут невозможен, поскольку в знаменателе константа, видится мне, что нужно думать в сторону определения производной, но ничего не получается. Подскажите, как решать, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 16:26 
Давайте подумаем вместе, вот есть у вас ваша дробь, что вам мешает представить ее как
$\frac{\alpha(h)}{\beta(h)}$, где $\beta(h)=h^{2}$, а $\alpha(h)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a)$ ?

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 16:49 
Аватара пользователя
$\frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=\frac{(f(a+h)-f(a))+(f(a-h)-f(a))}{h^2}$ , после чего в числителе два раза позвать дедушку Тейлора.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 16:52 
Аватара пользователя
oniksofers в сообщении #1079919 писал(а):
Давайте подумаем вместе, вот есть у вас ваша дробь, что вам мешает представить ее как
$\frac{\alpha(h)}{\beta(h)}$, где $\beta(h)=h^{2}$, а $\alpha(h)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a)$ ?

Тогда 2 раза применив правило Лопиталя получим f``(a)$? Таков ответ?

-- 06.12.2015, 16:53 --

Brukvalub в сообщении #1079925 писал(а):
$\frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=\frac{(f(a+h)-f(a))+(f(a-h)-f(a))}{h^2}$ , после чего в числителе два раза позвать дедушку Тейлора.

Спасибо!

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 17:09 
iou в сообщении #1079926 писал(а):
Тогда 2 раза применив правило Лопиталя

Вообще говоря, два раза его применить нельзя, так как о существовании второй производной в отличных от $a$ точках ничего не известно.
Можно применить один раз, а затем воспользоваться определением производной.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 18:10 
Аватара пользователя
NSKuber в сообщении #1079933 писал(а):
Вообще говоря, два раза его применить нельзя, так как о существовании второй производной в отличных от $a$ точках ничего не известно.

Есть примитивная модификация правила Лопиталя (так сказать, нулевое правило Лопиталя), в котором утверждается, что предел отношения бесконечно малых дифференцируемых в предельной точке функций равен отношению (если оно существует) производных этих функций в предельной точке. Возможно, ТС второй раз применил именно его.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.12.2015, 19:35 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1079943 писал(а):
NSKuber в сообщении #1079933 писал(а):
Вообще говоря, два раза его применить нельзя, так как о существовании второй производной в отличных от $a$ точках ничего не известно.

Есть примитивная модификация правила Лопиталя (так сказать, нулевое правило Лопиталя), в котором утверждается, что предел отношения бесконечно малых дифференцируемых в предельной точке функций равен отношению (если оно существует) производных этих функций в предельной точке. Возможно, ТС второй раз применил именно его.

А можно поподробнее про этот факт, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение11.12.2015, 19:38 
Аватара пользователя
iou в сообщении #1081441 писал(а):
А можно поподробнее про этот факт, пожалуйста.

Это как? Крупными буквами с большими пробелами написать, что ли? :shock:

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.12.2015, 22:47 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1081442 писал(а):
iou в сообщении #1081441 писал(а):
А можно поподробнее про этот факт, пожалуйста.

Это как? Крупными буквами с большими пробелами написать, что ли? :shock:

Не совсем. Я правильно понял, что факт, который вы указали - разрешает дифференцировать начальную функцию дважды? Но, по-моему, для второго дифференцирования нам нужно знать что-нибудь о окрестности нашей точки после взятия первой производной.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение12.12.2015, 23:01 
Аватара пользователя
"Нулевое" правило Лопиталя разрешает дифференцировать второй раз только в точке $a$ и сводится, по существу, к определению второй производной, как указывал NSKuber.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group