Доказательство несуществования рационального кубоида.

[Andrey Bogatyryov]

Хочу поделиться с Вами моими наработками относительно одной открытой математической проблемы. Они, правда, в достаточно наивной форме, но я все же полагаю, что они верны.
Хочется услышать вашу критику и, возможно, узнать, в чем я не прав.
...
Тезис звучит так:«Не существует параллелепипеда с рациональными (и целочисленными) ребрами, диагоналями граней и внутренней диагональю.»
(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%B8%D0%B4)
Я разделил доказательство на пять частей для большего удобства, заранее извиняюсь, если слишком запутанно.
Доказательство:

Часть I
Допустим, что такой параллелепипед (или целочисленный кубоид) существует, x,y,z – его ребра, a,b,c – диагонали граней и k – внутренняя диагональ, причем x,y,z,a,b,c,k – взаимно простые натуральные числа(1).
Получаем систему уравнений (2):

$$x^2+y^2=\ a^2$$

$$y^2+z^2=\ b^2$$

$$x^2+z^2=\ c^2$$

$$x^2+y^2+z^2=\ k^2$$

Ребра х,y,z не могут быть одновременно нечетными, так как хотя бы один из катетов пифагорова треугольника должен быть четным. По той же причине два из чисел х,y,z не могут быть нечетными, иначе одна из диагоналей не будет рациональной, что противоречит условию (1).
Если х,y,z будут четными, то четными окажутся и все остальные числа a,b,c,k, что противоречит условию (1), т.к. числа не взаимно простые в данном случае.
Пусть х,у – будут четными, а z – нечетным, тогда a – четное, и b,c,k – нечетные (3).

Часть II
Исходя из формул (2), получаем:

$$a^2 + b^2 + c^2 = (x^2 + y^2) + (y^2 + z^2) + (z^2 + x^2) = 2 k^2$$

$$a^2 + b^2 - c^2 = (x^2 + y^2) + (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = 2 y^2$$

$$a^2 - b^2 + c^2 = (x^2 + y^2) - (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) = 2 x^2$$

$$b^2 + c^2 - a^2 = (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) - (x^2+y^2) = 2 z^2$$

Часть III
Т.к. $2 y^2 > 0$, то $a^2 + b^2 - c^2 > 0$ или $a^2 + b^2 > c^2$
Следовательно, из отрезков, равным $a^2, b^2, c^2,$ можно составить целочисленный треугольник. По формуле Герона площадь этого тр-ка равна:

$$4S=\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2 ) (a^2 + b^2 - c^2 ) (a^2 - b^2 + c^2 ) (b^2 + c^2 - a^2)}$$

$$S=\frac 1 4 \sqrt{16 k^2 x^2 y^2 z^2} = kxyz$$

Так как площадь целочисленного тр-ка – целое число, то это – геронов треугольник.

Часть IV
Любой (по крайней мере, так утверждает википедия) геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные значениям:

$$ a_0 = (m + n) (mn - h^2)$$

$$b_0 = m (n^2 + h^2)$$

$$c_0 = n (m^2 + h^2)$$

Полупериметр: $p_0 = mn (m + n)$
Площадь: $S_0 = mnh (m + n)(mn - h^2)$
Где $a_0,b_0,c_0 $ - стороны геронова тр-ка, m,n,h – целые взаимно простые числа, такие, что $m \geqslant n \geqslant 1$, $mn > h^2 > \frac{nm^2}{2m+n} $.
Для нашего тр-ка будут выполняться следующие условия (4):

$$a^2 = (m + n) (mn - h^2 )$$

$$b^2=m (n^2 + h^2 )$$

$$c^2=n (m^2 + h^2 )$$

$$p= \frac{a^2+b^2+c^2}{2} = k^2 = mn(m + n)$$

$$x^2 = k^2 - b^2 = m (mn - h^2)$$

$$y^2 = k^2 - c^2 = n(mn - h^2)$$

$$z^2 = k^2 - a^2 = h^2 (m + n)$$

Часть V
Так как числа m,n,h – взаимно простые, то среди них должно быть не более одного четного числа.
Допустим, что все числа m,n,h – нечетны. Тогда числа x,y,z,a,b,c,k ,будут четными, что противоречит условию (1).
Допустим, что m,n – нечетны, а h – четное. Тогда четными будут a,z,k, а все остальные (x,y,b,c)– нечетными. Но это противоречит условию (3), тем более, что из чисел (x,у,a), составляющих пифагорову тройку, катеты x и y не могут быть одновременно нечетными (5).
Допустим, что m,h – нечетны, n – четное. Тогда четными будут a,z,k, а все остальные (x,y,b,c)– нечетными. Аналогично (5).
Допустим, что n,h – нечетны, m – четное. Тогда четными будут a,z,k, а все остальные (x,y,b,c)– нечетными. Аналогично (5).
...
Тем самым, мы пришли к парадоксу: из длин, равных $(x^2 + y^2 ), (x^2 + z^2 ), (y^2 + z^2),$ нельзя построить геронов тр-к с целой площадью $xyz \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},$
Значит, не существует целочисленного кубоида, иначе из его ребер и всех диагоналей можно было бы составить подобный Геронов тр-к, но мы убедились, что этого сделать не получится исходя из противоречий в четности/нечетности ребер и диагоналей кубоида. Теорема доказана.

Так же существует и ряд выводов из этой теоремы, если она окажется верной:
1)Не существует геронова тр-ка со сторонами, кратными целым квадратам натуральных чисел, иначе рациональными будут $\sqrt{m}, \sqrt{n}, \sqrt{m+n}, \sqrt{mn - h^2}$ (т.к. m,n,h – взаимно простые), из которых можно будет «собрать» x,y,z,k – ребра и внутреннюю диагональ целочисленного кубоида (6).
2)Так как все прямоугольные пифагоровы тр-ки – героновы, то и не существует пифагорой тройки, числа которой будут кратны квадратам натуральных чисел. Т.е, уравнение $ c^4 = a^4 + b^4$ не имеет целых корней. (Частный случай Великой Теоремы Ферма для n=4 в данном случае доказывается из утверждения (6))
3) Не существует пирамиды с прямоугольным основанием, такой, что все ребра, диагональ основания и апофемы были бы целочисленны, иначе из такой пирамиды можно было бы собрать целочисленный кубоид (если взять «четверть» пирамиды и достроить до прямоугольника).

[scwec]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1081114 писал(а):

1)Не существует геронова тр-ка со сторонами, кратными целым квадратам натуральных чисел

Существует. $a=1853^2,b=4380^2,c=4427^2$.
Здесь об этом уже говорилось.

[grizzly]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1081114 писал(а):

Для нашего тр-ка будут выполняться следующие условия (4):

$$a^2 = (m + n) (mn - h^2 )$$

У Вас уже был сделан однажды произвольный выбор между $a,b,c$. Чтобы выполнить поверх этого выбора новый выбор "не уменьшая общности", Вам нужны дополнительные аргументы. Или рассмотреть другие варианты выражений для $a,b,c$ в полученном героновом треугольнике (достаточно рассмотреть только один из оставшихся двух симметричных вариантов).

Andrey Bogatyryov в сообщении #1081114 писал(а):

Допустим, что m,h – нечетны, n – четное. Тогда четными будут a,z,k, а все остальные (x,y,b,c)– нечетными.

Здесь что-то не так. Проверьте. Собственно это и наталкивает меня на мысль, что при другом раскладе исследуемого геронового треугольника всё может сойтись без противоречия.

[grizzly]

Andrey Bogatyryov в сообщении #1081114 писал(а):

Любой (по крайней мере, так утверждает википедия) геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные значениям

Посмотрел внимательнее. В этом доказательстве, похоже, предполагается какое-то неверное понимание параметризации героновых треугольников. Рассматриваемый примитивный треугольник вовсе не обязан представляться таким образом -- нужно использовать коэффициенты пропорциональности, которые могут быть не только повышающими, но и понижающими. И если в параметризованном треугольнике все стороны будут чётными, нам нужно будет просто разделить на общий множитель, чтобы привести к рассматриваемому.