Одно диофантово уравнение и гипотеза Римана

[venco]

Tot в сообщении #905985 писал(а):

А вообще меня интересует вид диофантового уравнения конкретно для гипотезы Римана. Хочу потренироваться на системах для конкретных задач.

Зачем? Решать эту систему не легче, чем исходный алгоритм. Вы не поняли, что это просто завуалированная запись алгоритма?

[Tot]

У меня есть сырая идея по способу доказательства систем диофантовых уравнений небольшой степени на отсутствие решений путём линеаризации через частичную задачу выполнимости. В общем нечто принципиально новое, но нужна хорошая, практическая задача, чтобы руки сами чесались. Миллион здесь не причём, его проще на гипотезе Биля получить.

[Tot]

Моё понимание системы в начале темы такое.
Есть четыре параметра $x, u, y, z$, характеризующие элемент произвольного счётного множества. Одна из форм записи этой зависимости - это универсальный полином Джонса, отличающейся от других форм всего 28 переменными и одним членом в степени выше пятой. Если было бы возможно доказать, что всё множество решений полинома Джонса имеет лишь конкретное значение одной из переменных, то его можно было бы упростить без потери общности, получив другой универсальный полином. Кстати, не все виды универсального полинома получены, есть открытые вопросы.
Параметр $K$ для данной гипотезы Римана имеет некоторое множество значений. Он имеет конкретную функциональную зависимость от параметров $x, u, y, z, $, тем самым переводя произвольное счётное множество в конкретное данной задачи. Нас не интересует параметр $K$ как конкретные числа, он интересен как функция зависимости. Эта зависимость характеризует все алгоритмы доказательства гипотезы Римана, в том числе те, до которых человечество не додумалось. Сравните: диофантово уравнение ВТФ задаёт не только алгоритм доказательства Уайлса, но и все другие возможные доказательства, в том числе гипотетическое, "чудесное" доказательство Пьера Ферма. У меня очень простой вопрос. Известен ли специалистам явный вид зависимости $K$ от $x, u, y, z $ для гипотезы Римана? Может просто доказано существование этой зависимости и никто не удосужился посчитать?

[Tot]

моё послесловие к вышенаписанному в аналогичной теме
У меня есть гипотеза по поводу решения произвольной системы диофантовых уравнений. Но не знаю, как её проверить.
Произвольная система задаёт перечислимое множество с ограничением решением 10ой проблемы Гильберта. Если у нас есть в системе все переменные под квантором существования, то имеем аналог проблемы выполнимости булевой функции(sat problem). Если часть переменных поставить под квантор общности, то имеем аналог проблемы выполнимости булевой функции с кванторами(qsat problem, иное название tqbf problem). Обе задачи имеют экспоненциальные алгоритмы решения. Однако согласно 10 проблеме Гильберта есть такие системы диофантовых уравнений, у которых процедура(набор последовательных действий) зацикливается и не приводит к решению, то есть перестаёт быть алгоритмом по определению. Исходя из такой модели, можно искать процедуру решения произвольной системы диофантовых уравнений. Если зациклится в конкретном случае, то просто не повезло.
Если бы данную для решения систему диофантовых уравнений можно было привести к виду, где все переменные под квантором существования имели бы малую степень строго выше первой. В таком случае можно было бы рассмотреть решение системы относительно нескольких младших бит. Например, уравнение Пелля относительно нулевого бита переменных можно было бы записать как систему из двух уравнений(относительно нулевого и первого битов уравнения). Систему для младших бит можно было бы записать через задачу выполнимости как систему целочисленных, линейных неравенств. Там можно было бы поискать противоречие задачи выполнимости или разбить задачу tqbf на части. Однако всё это бессмысленно делать при наличии переменных в первой степени, так как у таких переменных всё переносится к определению знака в старшем бите, находящемся неизвестно как далеко.
Так что, может быть, следует искать подход к диофантовым уравнениям именно в методах избавления от переменных первой степени. Было бы интересно увидеть модификацию того же диофантового представления гипотезы Римана из книги Матиясевича. Там все неравенства переходят в переменные первой степени, а без них имеем лишь уравнения степенной функции, априори не содержащие противоречие.
Собственно говоря, не знаю, где взять осмысленную систему уравнений для проверки схематично изложенного выше.

[Rob123]

Данное диофантово уравнение НЕ представляет собой сумму девятнадцати квадратов (три(?) из них не квадраты, одно со знаком -) Поэтому переход к системе (приравнивание нулю всех одночленов) ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ. Легко ошибиться при таком количестве переменных. Однако поскольку сумма квадратов неотрицательна можно получить некоторое ограничение на эти четыре "нехороших" одночлена и только.

[Tot]

Наверно согласен. Если интересоваться этим универсальным диофантовым уравнением, то лучше посмотреть его вид в первоисточнике.
Universal Diophantine Equation
Author(s): James P. Jones
Source: The Journal of Symbolic Logic, Vol. 47, No. 3 (Sep., 1982), pp. 549-571

А для рассмотрения гипотезы Римана через диофантовы уравнения лучше
использовать систему из книги Матиясевича. Правда там читать нужно внимательно, так как имеются опечатки и в английском, и в русском изданиях.

[Tot]

Из книги Матиясевича имеем следующее представление гипотезы Римана.

$$n\geqslant 600 (1)$$

$$m=[1,2,...,n] (2)$$

$$l\leqslant \ln m < l + \ln 4 (3)$$

$$k\leqslant \ln n < k + \ln 4 (4)$$

$$|l-n| > 2\sqrt{n}k^2 (5)$$

Если $\exists m,n,k,l \in \mathbb N$, удовлетворяющие $(1)-(5)$, то гипотеза Римана ошибочна.
Два вопроса форумчанам.
1) Существует ли аналогичная система для обобщённой гипотезы Римана?
2) Переменную вида $x=x_0+2^nx_1+2^{2n}x_1+2^{3n}x_1+...$,
где $n \in \mathbb N; x_0, x_1 \in \mathbb Z^+$, назовём бесконечно периодическим целым числом.
Возьмём произвольное диофантово уравнение, где все переменные в степенях не выше биквадрата, уравнение Пелля для примера или какое-то другое, кроме линейного. Возможны ли у каких-либо диофантовых уравнений описанного типа решения, в которых значения всех переменных являются бесконечно периодическими целыми числами?

[Skipper]

Цитата:

Существует ли аналогичная система для обобщённой гипотезы Римана?

Вот и если существует, и окажется в точности такой же, то это будет означать что ГР и обобщенная ГР эквивалентны?

[Tot]

При Ваших условиях это будет означать, что они либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Но мне не понятно, почему системы условий должны совпасть.

[Skipper]

Цитата:

Но мне не понятно, почему системы условий должны совпасть.

По факту, скорее всего истинны, и классическая гипотеза Римана, и обобщенная.
А значит системы условий вполне могут совпасть. Если найти их и они совпадут, это будет означать только то, что
найдено доказательство эквивалентности этих гипотез (а это тоже новое открытие в математике). Но чтобы доказать их истинность - нужно будет решить эту систему уравнений.

-- Вт июн 14, 2016 10:52:45 --

Возможно также, существует система уравнений, которая представляет гипотезу Линделёфа.
И эта система тоже может совпасть с системой, представляющей классическую гипотезу Римана.
Если найти её, и она совпадет, это будет означать, что гипотеза Линделёфа эквивалентна классической гипотезе Римана.

Эти гипотезы на данный момент следуют в порядке возрастания "силы". Т.е. каждая следующая - более сильное утверждение. И если она верна, то верна и предыдущая, но не наоборот:

1) гипотеза Линделёфа, самое сильное утверждение в теории дзета-функции после гипотезы Римана.
2) классическая гипотеза Римана.
3) обобщенная гипотеза Римана.


Какие будут коэффициенты для всех трех гипотез?

[Tot]

Наоборот, отсутствие решений у системы докажет гипотезу Римана.
У меня есть идея проверки этого, пока занимаюсь её оптимизацией, прежде чем задать работу компьютеру.
Думаю, что представления обобщенной гипотезы Римана и гипотезы Линделёфа в подобном виде должны быть немного другими. Система выше для гипотезы Римана получена в книге Матиясевича из записи гипотезы Римана через функцию Чебышева. Можно посмотреть статью о функциях Чебышева в русской википедии, там формула без ошибок.
А есть ли аналоги этой формулы для обобщённой гипотезы Римана и гипотезы Линделёфа?
Для меня гипотеза Римана понятна только с диофантовой точки зрения, аналитическая теория чисел - тёмный лес. В системы выше работа с "дурной бесконечностью". Представление основания натурального логарифма в диофантовой системе вполне может объяснить полтора века бесплодных усилий. Вот и хочется подстраховаться и иметь возможность посмотреть на слегка отличающуюся систему как на такую же, но под другим углом зрения. Бинокулярное зрение отличает объёмное от плоского, здесь что-то похожее.