Приближенное вычисление интеграла с погрешностью

[soulstealer]

Здравствуйте, помогите пожалуйста: мне нужно вычислить определенный интеграл, с погрешностью: $\delta=0,001$:

$$\int\limits_{0}^{3}\frac{1}{x}(\ch\frac{x}{3}-\cos\frac{x}{3})dx$$

Я определил, что $ \frac{1}{x}(\ch\frac{x}{3}-\cos\frac{x}{3}) $ можно записать в ряд:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2 x^{4n+1}}{3^{4n+2}(4n+2)!}$$

Дальше я вычислил интеграл:

$$\int\limits_{0}^{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2 x^{4n+1}}{3^{4n+2}(4n+2)!}dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2\cdot3^{4n+2}}{3^{4n+2}(4n+2)! (4n+2)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{(4n+2)!(4n+2)}$$

Но вот дальше, я не знаю как найти сколько мне брать членов(т.е. как найти $n$), что бы вычисления удовлетворяли погрешности.

[Ms-dos4]

soulstealer
Если всё верно вычислено, то скорее всего достаточно всего двух членов ряда для такой погрешности (нулевой и первый), т.к. он очень быстро сходится, 3-ий и последующий члены уже существенно меньше.
P.S.Можно конечно и строго - найти какой нибудь ряд с известной суммой, каждый соотв. член которого больше членов данного, да и оценить им.

[NSKuber]

Каждый последующий член ряда как минимум в два раза меньше предыдущего, поэтому сумму хвоста, начинающегося с $n$-го элемента можно оценить сверху удвоенным $n$-ым элементом. Так даже и второй член можно откинуть!

[soulstealer]

NSKuber в сообщении #1081060 писал(а):

сумму хвоста, начинающегося с $n$-го элемента можно оценить сверху удвоенным $n$-ым элементом. Так даже и второй член можно откинуть!

Т.е.

$$R_n=2\frac{2}{(4n+2)!(4n+2)}$$

И что дальше? Как отсюда можно доказать, что $R_n<0.001$ при $n>1$?

[DiMath]

soulstealer
По монотонности.

[NSKuber]

soulstealer в сообщении #1081099 писал(а):

И что дальше? Как отсюда можно доказать, что $R_n<0.001$ при $n>1$?

$R_n$ - это сумма хвоста? Тогда неравенство должно быть ранее в сообщении.
В лоб подставляете двойку вместо $n$ и заключаете, что весь хвост, начиная со второго члена, не превосходит $0.001$.