Определение предела

[Dmitry Tkachenko]

Почему бы сразу не сказать, что $\frac{1}{x}=t$ и $t\to 1$ при $x\to 1$ ? Тогда нужно доказать $\lim\limits_{t\to1}(3t-1)=2.$ Сейчас $0<|t-1|<\delta.$ Имеем $|3t-3|=3|t-1|<3\delta.$ Значит, $\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta=\frac{\varepsilon}{3} \quad \forall t \colon 0<|t-1|<\delta \Rightarrow |(3t-1)-2|<\varepsilon.$

[demolishka]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1080677 писал(а):

Почему бы сразу не сказать, что $\frac{1}{x}=t$ и $t\to 1$ при $x\to 1$ ?

Для этого придется доказывать непрерывность $\frac{1}{x}.$ От исходной функции она не сильно отличается. Но тут даже не в этом дело -исходная задача направлена на улучшение понимания определения предела и работы с доказательством аналогичных утверждений в целом.

[Brukvalub]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1080677 писал(а):

Почему бы сразу не сказать, что $\frac{1}{x}=t$ и $t\to 1$ при $x\to 1$ ?

demolishka в сообщении #1080679 писал(а):

Dmitry Tkachenko в сообщении #1080677 писал(а):

Почему бы сразу не сказать, что $\frac{1}{x}=t$ и $t\to 1$ при $x\to 1$ ?

Для этого придется доказывать непрерывность $\frac{1}{x}.$ От исходной функции она не сильно отличается.

Вы это сразу придумали, или вначале прочли УСЛОВИЕ задачи?

[gefest_md]

demolishka в сообщении #1080679 писал(а):

Для этого придется доказывать непрерывность $\frac{1}{x}.$

В точке $1$ необязательно. Достаточно выполнение условий теоремы о пределе композиции функций.

[Dmitry Tkachenko]

(Оффтоп)

demolishka в сообщении #1080679 писал(а):

Но тут даже не в этом дело -исходная задача направлена на улучшение понимания определения предела и работы с доказательством аналогичных утверждений в целом.

На мой взгляд работать нужно продуктивно и вдумчиво, а не печатать пачками одинаковость. Такое однообразие подходов, как показывает практика, в исчерпывающем большинстве случаев приводит к усложнению очевидных вещей. Кроме того, часто мне удавалось наблюдать закономерность: 1) перфекционизм, 2) самоограничение, 3) непокорность. 1) Сначала некто пытается решить задачу по идеальным шаблонам -- он же одно и тоже не зря выписывал. 2) Затем, сталкиваясь с трудностями, он ограничивает себя из-за подсознательного страха выбраться из рамок идеальных шаблонов. 3) Далее, он откладывает задачу на потом.

Это объясняет причину уклонения от решения некоторых не очень сложных задач, но не причину их откладывания, которая, возможно, и заключается в однообразии подходов. Лучше всего учиться балансировать: наработать навык, где это нужно, но не злоупотреблять одинаковостью и не терять бдительность. Возможно, это подходит не для всех, но этому нужно учиться.

[provincialka]

Dmitry Tkachenko
Тут все зависит от решаемой задачи. Ясно, что непрерывность заданной функции легко следует из парочки теорем. Но! Задание направлено на отработку определения. Так что подменять ее чем-то другим не есть хорошо. Разве что вы предлагаете и определение предела поменять.