Множество точек разрыва

[Профессор Снэйп]

Какое подмножество действительной прямой может являться множеством точек разрыва функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$.

Ясно, что любое не более чем счётное множество может являться таковым. И также множества с не более чем счётным дополнением, состоящим из изолированных точек. А какие ещё?

P. S. Не уверен в выборе раздела для этой темы. Если вопрос окажется лёгким или классическим хорошо изученным, то, возможно, стоит перенести эту тему в "учебный раздел". Но также не исключаю возможности того, что эта тема для "олимпиадного" раздела.

[maxal]

Ну вот кое-какая инфа о связи с теоремой Бэра о категориях:



В этой статье доказывается, что мера Лебега точек разрыва равна нулю.

Вот еще такая книжка Kharazishvili A.B. Strange functions in real analysis там тоже затрагивается вопрос о строении множества точек разрыва (в главе 2 вроде).

А в этой статье рассматриваются двумерные функции на компактных пространствах.

[Профессор Снэйп]

maxal писал(а):

В этой статье доказывается, что мера Лебега точек разрыва равна нулю.

Ну, там немного не то, поскольку рассматриваются монотонные функции из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^m$, а не произвольные функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. С монотонными функциями всё значительно проще: в частности, множество точек разрыва любой монотонной функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ не более чем счётно (это вообще довольно простая задачка для первокурсников).

Предыдущая ссылка значительно интересней и уводит куда-то в теорию дескриптивных множеств, с которой я, к сожалению, плохо знаком. Там доказывается, что множество точек разрыва произвольной функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ является множеством типа $\mathcal{F}_\sigma$ (то есть объединением не более чем счётного числа замкнутых множеств). Интересно, верно ли обратное, то есть верно ли, что каждое множество типа $\mathcal{F}_\sigma$ на действительной прямой является множеством точек разрыва некоторой функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$?

[maxal]

Профессор Снэйп писал(а):

Предыдущая ссылка значительно интересней и уводит куда-то в теорию дескриптивных множеств, с которой я, к сожалению, плохо знаком. Там доказывается, что множество точек разрыва произвольной функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ является множеством типа $\mathcal{F}_\sigma$ (то есть объединением не более чем счётного числа замкнутых множеств). Интересно, верно ли обратное, то есть верно ли, что каждое множество типа $\mathcal{F}_\sigma$ на действительной прямой является множеством точек разрыва некоторой функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$?

А разве для этого не достаточно построить непрерывную биекцию из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, сужение которой на данное множество типа $\mathcal{F}_\sigma$ является биекцией во множество (этого же типа), являющееся множеством точек разрыва какой-нибудь фиксированной функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$?

[Профессор Снэйп]

maxal писал(а):

А разве для этого не достаточно построить непрерывную биекцию из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, сужение которой на данное множество типа $\mathcal{F}_\sigma$ является биекцией во множество (этого же типа), являющееся множеством точек разрыва какой-нибудь фиксированной функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$?

Либо я чего-то не понял, либо... откуда такая биекция возьмётся? Ведь множества типа $\mathcal{F}_\sigma$ разные бывают, в том числе и разной мощности. Например, вся действительная прямая --- множество типа $\mathcal{F}_\sigma$, и произвольное конечное либо счётное множество --- тоже типа $\mathcal{F}_\sigma$.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Интересно, верно ли обратное, то есть верно ли, что каждое множество типа $\mathcal{F}_\sigma$ на действительной прямой является множеством точек разрыва некоторой функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$?

Это верно, и является несложным упражнением. Сначала для одного замкнутого множества F выделяется конечное или счётное его подмножество, замыкание которого совпадает с F, и берётся индикатор такого подмножества. А затем для любого множества типа $\mathcal{F}_\sigma$ рассматривается ряд из таких индикаторов, домноженных на соответствующие степени маленькой дроби.