2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интерполирование функции
Сообщение06.12.2015, 19:17 


12/06/15
2
Можно задать такой вопрос?
Я интерполировал функцию с помощью мной же написанной программы на си плюс плюс и получил соответствующие графики. Интерполировал я по равноотстоящим и Чебышевским узлам. График многочлена по равноотстоящим узлам меня дико смущает. Или это нормально то что он такие значения принимает?
Функция, которую я интерполировал: $\sqrt{\left\lvert x \right\rvert}$ на отрезке [-1,1].
А вот и графики:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполирование функции
Сообщение06.12.2015, 19:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
да, нормальный график
вы еще интерполяцию кусочно-периодичной константы синусами посмотрите ради интереса

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполирование функции
Сообщение06.12.2015, 19:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24041
Кронштадт
almalexia1997 в сообщении #1079957 писал(а):
График многочлена по равноотстоящим узлам меня дико смущает. Или это нормально то что он такие значения принимает?
Вполне нормально. Собственно, весьма неплохая иллюстрация того, зачем нужны чебышевские узлы. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполирование функции
Сообщение07.12.2015, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7941
Москва
"Явление Рунге". См., например, К.Ланцош "Практические методы прикладного анализа", V-14 и V-15

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполирование функции
Сообщение07.12.2015, 17:59 
Аватара пользователя


26/05/12
1257
приходит весна?
Ошибка интерполирования функции $f(x)$ полиномом $p_N(x)$ в точках $\{x_i\}$ ($i=0,...,N$) на отрезке $\left[ a,b \right]$ равна$$\[f\left( x \right)-p\left( x \right)=\frac{{{f}^{\left( n+1 \right)}\left( \xi  \right)}}{{\left( n+1 \right)!}}\prod\limits_{k=0}^{n}{\left( x-{{x}_{k}} \right)}\]$$где $\xi \in \left[ a,b \right]$. Правда, это верно, только если $f\left( x \right)$ — функция из ${{C}^{n+1}}\left[ a,b \right]$.

Выбор Чебышевских узлов продиктован желанием минимизировать значение произведения $\prod$ в правой части равенства. Это не означает, что такой выбор оптимален в каждом конкретном случае, наоборот, для конкретной функции гораздо оптимальнее найти свои точки аппроксимации. Всё дело во множителе перед произведением $\prod$: положение точки $\xi$ так же зависит от всех узлов аппроксимации. Кроме того, чем хуже ведёт себя производная ${f}^{\left( n+1 \right)}\left( \xi  \right)$, тем хуже будет аппроксимация.

А производные функций имеют свойство с ростом порядка себя вести всё хуже и хуже. Кажется, вот мы взяли многочлен большей степени, а аппроксимировать он стал только хуже. Из сказанного это не удивительно. Поэтому люди придумали замечательный метод: сплайновая интерполяция. Вместо того, чтобы брать один полином большой степени, возьмём много полиномов маленькой степени, каждый на своём участке значений аргумента функции. На стыках краёв полиномов потребуем их гладкого сочленения, гладкость выбирается исходя из назначения аппроксимации (до 1-ой производной, до 2-ой и так далее). Такой подход в подавляющем большинстве случаев оказывается одновременно и проще, и продуктивней.

В вашем же случае функция — корень из модуля — вообще не является дифференцируемой функцией и не подпадает под формулировки теоремы. Но если вы её немного подправите:$${}^4\sqrt{ \alpha + x^2 }$$где $\alpha$ — малая величина, то обнаружите, что производные ведут себя в нуле очень плохо. Выбор Чебышевских узлов интерполяции не даст ничего, так как максимальное значение производной стремиться к бесконечности. Так что использование сплайнов здесь просто напрашивается само собой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group