2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти предел
Сообщение06.12.2015, 19:43 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Господа, дан предел: $$\lim_{x\to e} \Big(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}\Big)^{\frac{1}{\ln{x}-1}}=?$$
Имеет неопределенность вида $1^\infty$
Делал замену $t=x-e$, но ничем хорошим это не увенчалось.
Как решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 19:48 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
прологарифмировать
рассмотреть случаи $a,b>1$, $a=1\vee b=1$, упростить основание в этом случае
сделать замену $u=\ln x$
взять баааалшой $x$, подставить и вычислить для $a=2, b=3$
вариантов масса

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:06 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Sonic86 в сообщении #1079973 писал(а):
прологарифмировать
рассмотреть случаи $a,b>1$, $a=1\vee b=1$, упростить основание в этом случае
сделать замену $u=\ln x$
взять баааалшой $x$, подставить и вычислить для $a=2, b=3$
вариантов масса

Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
iou в сообщении #1080015 писал(а):
Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

Меньше будет отвлекающих моментов ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:14 
Аватара пользователя


04/10/15
291
provincialka в сообщении #1080017 писал(а):
iou в сообщении #1080015 писал(а):
Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

Меньше будет отвлекающих млментов ...

Предположим, $u=\ln{x}$, тогда $u\to1$, но я всё равно не понимаю, как упростить основание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А зачем его упрощать? Вы как вообще неопределенности $1^\infty$ раскрываете?
Например, хороший метод такой: $\lim f(x)^{g(x)}=e^A$, где $A=\lim g(x)(f(x)-1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 23:04 
Аватара пользователя


04/10/15
291
provincialka в сообщении #1080022 писал(а):
А зачем его упрощать? Вы как вообще неопределенности $1^\infty$ раскрываете?
Например, хороший метод такой: $\lim f(x)^{g(x)}=e^A$, где $A=\lim g(x)(f(x)-1)$.

Но вычислить $A$ ничуть не проще, чем исходный предел, на мой взгляд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение07.12.2015, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А вы пробовали? Проще, уверяю вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение07.12.2015, 00:31 
Аватара пользователя


04/10/15
291
provincialka в сообщении #1080075 писал(а):
А вы пробовали? Проще, уверяю вас.

Пробовал и, увы..
Если $f(x)=\Big(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}\Big)$, $g(x)=\frac{1}{\ln{x}-1}$
Тогда $$A=\lim_{x\to e} g(x)(f(x)-1) \Leftrightarrow $$\lim_{x\to e} {(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}-1})(\frac{1}{\ln{x}-1})$$
Представив это в виде дроби получим неопределенность. Используя правило Лопиталя получим:
$$\frac{a^{\ln{x}}\ln{a}+b^{\ln{x}}\ln{b}}{a+b}$$ где $x\to e$.
Но, по-моему, $e^A$ не равно исходному пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти предел
Сообщение07.12.2015, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Опять у вас $x$.... Попробую через $u\to 1$, так меньше писанины... $A=\frac1{a+b}\lim \frac{a^u-a+b^u-b}{u-1}$. Явно получаются два аналогичных предела.

Так что ваш ответ, похоже, правильный... Только $x$ в нем быть не должно.
Кроме того, его можно преобразовать, учитывая, что $e^{\ln a}=a$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group