2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти предел
Сообщение06.12.2015, 19:43 
Аватара пользователя
Господа, дан предел: $$\lim_{x\to e} \Big(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}\Big)^{\frac{1}{\ln{x}-1}}=?$$
Имеет неопределенность вида $1^\infty$
Делал замену $t=x-e$, но ничем хорошим это не увенчалось.
Как решать?

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 19:48 
прологарифмировать
рассмотреть случаи $a,b>1$, $a=1\vee b=1$, упростить основание в этом случае
сделать замену $u=\ln x$
взять баааалшой $x$, подставить и вычислить для $a=2, b=3$
вариантов масса

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:06 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #1079973 писал(а):
прологарифмировать
рассмотреть случаи $a,b>1$, $a=1\vee b=1$, упростить основание в этом случае
сделать замену $u=\ln x$
взять баааалшой $x$, подставить и вычислить для $a=2, b=3$
вариантов масса

Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:11 
Аватара пользователя
iou в сообщении #1080015 писал(а):
Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

Меньше будет отвлекающих моментов ...

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:14 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1080017 писал(а):
iou в сообщении #1080015 писал(а):
Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

Меньше будет отвлекающих млментов ...

Предположим, $u=\ln{x}$, тогда $u\to1$, но я всё равно не понимаю, как упростить основание.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 22:18 
Аватара пользователя
А зачем его упрощать? Вы как вообще неопределенности $1^\infty$ раскрываете?
Например, хороший метод такой: $\lim f(x)^{g(x)}=e^A$, где $A=\lim g(x)(f(x)-1)$.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение06.12.2015, 23:04 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1080022 писал(а):
А зачем его упрощать? Вы как вообще неопределенности $1^\infty$ раскрываете?
Например, хороший метод такой: $\lim f(x)^{g(x)}=e^A$, где $A=\lim g(x)(f(x)-1)$.

Но вычислить $A$ ничуть не проще, чем исходный предел, на мой взгляд.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение07.12.2015, 00:01 
Аватара пользователя
А вы пробовали? Проще, уверяю вас.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение07.12.2015, 00:31 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1080075 писал(а):
А вы пробовали? Проще, уверяю вас.

Пробовал и, увы..
Если $f(x)=\Big(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}\Big)$, $g(x)=\frac{1}{\ln{x}-1}$
Тогда $$A=\lim_{x\to e} g(x)(f(x)-1) \Leftrightarrow $$\lim_{x\to e} {(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}-1})(\frac{1}{\ln{x}-1})$$
Представив это в виде дроби получим неопределенность. Используя правило Лопиталя получим:
$$\frac{a^{\ln{x}}\ln{a}+b^{\ln{x}}\ln{b}}{a+b}$$ где $x\to e$.
Но, по-моему, $e^A$ не равно исходному пределу.

 
 
 
 Re: Найти предел
Сообщение07.12.2015, 02:12 
Аватара пользователя
Опять у вас $x$.... Попробую через $u\to 1$, так меньше писанины... $A=\frac1{a+b}\lim \frac{a^u-a+b^u-b}{u-1}$. Явно получаются два аналогичных предела.

Так что ваш ответ, похоже, правильный... Только $x$ в нем быть не должно.
Кроме того, его можно преобразовать, учитывая, что $e^{\ln a}=a$.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group