Найти предел

[iou]

Господа, дан предел:

$$\lim_{x\to e} \Big(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}\Big)^{\frac{1}{\ln{x}-1}}=?$$

Имеет неопределенность вида $1^\infty$
Делал замену $t=x-e$, но ничем хорошим это не увенчалось.
Как решать?

[Sonic86]

прологарифмировать
рассмотреть случаи $a,b>1$, $a=1\vee b=1$, упростить основание в этом случае
сделать замену $u=\ln x$
взять баааалшой $x$, подставить и вычислить для $a=2, b=3$
вариантов масса

[iou]

Sonic86 в сообщении #1079973 писал(а):

прологарифмировать
рассмотреть случаи $a,b>1$, $a=1\vee b=1$, упростить основание в этом случае
сделать замену $u=\ln x$
взять баааалшой $x$, подставить и вычислить для $a=2, b=3$
вариантов масса

Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

[provincialka]

iou в сообщении #1080015 писал(а):

Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

Меньше будет отвлекающих моментов ...

[iou]

provincialka в сообщении #1080017 писал(а):

iou в сообщении #1080015 писал(а):

Чем поможет замена $\ln{x}=u$?

Меньше будет отвлекающих млментов ...

Предположим, $u=\ln{x}$, тогда $u\to1$, но я всё равно не понимаю, как упростить основание.

[provincialka]

А зачем его упрощать? Вы как вообще неопределенности $1^\infty$ раскрываете?
Например, хороший метод такой: $\lim f(x)^{g(x)}=e^A$, где $A=\lim g(x)(f(x)-1)$.

[iou]

provincialka в сообщении #1080022 писал(а):

А зачем его упрощать? Вы как вообще неопределенности $1^\infty$ раскрываете?
Например, хороший метод такой: $\lim f(x)^{g(x)}=e^A$, где $A=\lim g(x)(f(x)-1)$.

Но вычислить $A$ ничуть не проще, чем исходный предел, на мой взгляд.

[provincialka]

А вы пробовали? Проще, уверяю вас.

[iou]

provincialka в сообщении #1080075 писал(а):

А вы пробовали? Проще, уверяю вас.

Пробовал и, увы..
Если $f(x)=\Big(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}\Big)$, $g(x)=\frac{1}{\ln{x}-1}$
Тогда

$$A=\lim_{x\to e} g(x)(f(x)-1) \Leftrightarrow $$\lim_{x\to e} {(\frac{a^{\ln{x}}+b^\ln{x}}{a+b}-1})(\frac{1}{\ln{x}-1})$$

Представив это в виде дроби получим неопределенность. Используя правило Лопиталя получим:

$$\frac{a^{\ln{x}}\ln{a}+b^{\ln{x}}\ln{b}}{a+b}$$

где $x\to e$.
Но, по-моему, $e^A$ не равно исходному пределу.

[provincialka]

Опять у вас $x$.... Попробую через $u\to 1$, так меньше писанины... $A=\frac1{a+b}\lim \frac{a^u-a+b^u-b}{u-1}$. Явно получаются два аналогичных предела.

Так что ваш ответ, похоже, правильный... Только $x$ в нем быть не должно.
Кроме того, его можно преобразовать, учитывая, что $e^{\ln a}=a$.