Обобщённые функции со значением в банаховом пространстве

[ProPupil]

Обычно понятие регулярной обобщённой функции в банаховом пространстве вводится как деминепрерывный оператор $f:D(a,b) \to V$, причём $f(\varphi)=\int\limits_a^b F(x)\varphi(x)\,dx$.

Имеет ли смысл рассматривать такую конструкцию (назовём её *-обобщённой функцией):

Пусть $X$ - рефлексивное банахово пространство. Обозначим через $D(a,b;X^\ast)$ пространство всех финитных непрерывных функций, сильно дифференцируемых в $V$ бесконечное число раз, причём эти производные непрерывны, в котором введено понятие сходимости: $\varphi_n \to \varphi$ в $D(a,b,X^\ast)$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{supp} f_n \subset K \subset [a,b]$ и $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ сильно в $X^\ast$ для всех $k$.

Что мешает определить регулярную *-обобщённую функцию как элемент пространства $D(a,b;X^\ast)^\ast$, положив

$$f(\varphi) = \int\limits_a^b \langle \varphi(t), F(t)\rangle\,dx,$$

где $F \in L_1^{loc}(a,b;X)$?

[Red_Herring]

ProPupil в сообщении #1079976 писал(а):

деминепрерывный оператор

Где Вы такое ругательство нашли?

ProPupil в сообщении #1079976 писал(а):

то мешает определить регулярную *-обобщённую функцию как элемент пространства $D(a,b;X^\ast)^\ast$

Ничего, кроме того что для Банановых пространств вторая звёздочка необязательно возвращает в первобытное состояние.

Поэтому чаще рассматривается обычное пространство финитных $\mathscr{D}$, но зато обобщённые функции это функционалы на нём со значениями в банановом пространстве $X$. Далее по тексту

[ProPupil]

Цитата:

Где Вы такое ругательство нашли?

Нам давали, как функцию, но мне не нравится термин "функция", если речь идёт о значениях в пространстве отличном от $\mathbb R$ или $\mathbb C$

Цитата:

Поэтому чаще рассматривается обычное пространство финитных $\mathscr{D}$, но зато обобщённые функции это функционалы на нём со значениями в банановом пространстве $X$.

Понятно, но опять мне бы не хотелось в этом случае употреблять термин функционал

[Red_Herring]

ProPupil в сообщении #1080010 писал(а):

но опять мне бы не хотелось

Есть некие традиции.

Опять-таки. Вы решили употреблять "оператор". В итоге у Вас куча всяких типов операторов. Нелинейные (которые я назвал функциями). Линейные, которые я назвал функционалами. И линейные $\mathscr{D}(\Omega,X)\to \mathscr{D}(\Omega,Y)$. Делает изложение трудным.