Найти предел

[iou]

Господа. Есть такой предел:

$$\exists \frac{d^2}{dx^2}f(a)$$

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=?$$

Получается неопределенность вида $\frac{0}{0}$
Лопиталь тут невозможен, поскольку в знаменателе константа, видится мне, что нужно думать в сторону определения производной, но ничего не получается. Подскажите, как решать, пожалуйста.

[oniksofers]

Давайте подумаем вместе, вот есть у вас ваша дробь, что вам мешает представить ее как
$\frac{\alpha(h)}{\beta(h)}$, где $\beta(h)=h^{2}$, а $\alpha(h)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a)$ ?

[Brukvalub]

$\frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=\frac{(f(a+h)-f(a))+(f(a-h)-f(a))}{h^2}$ , после чего в числителе два раза позвать дедушку Тейлора.

[iou]

oniksofers в сообщении #1079919 писал(а):

Давайте подумаем вместе, вот есть у вас ваша дробь, что вам мешает представить ее как
$\frac{\alpha(h)}{\beta(h)}$, где $\beta(h)=h^{2}$, а $\alpha(h)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a)$ ?

Тогда 2 раза применив правило Лопиталя получим f``(a)$? Таков ответ?

-- 06.12.2015, 16:53 --

Brukvalub в сообщении #1079925 писал(а):

$\frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=\frac{(f(a+h)-f(a))+(f(a-h)-f(a))}{h^2}$ , после чего в числителе два раза позвать дедушку Тейлора.

Спасибо!

[NSKuber]

iou в сообщении #1079926 писал(а):

Тогда 2 раза применив правило Лопиталя

Вообще говоря, два раза его применить нельзя, так как о существовании второй производной в отличных от $a$ точках ничего не известно.
Можно применить один раз, а затем воспользоваться определением производной.

[Brukvalub]

NSKuber в сообщении #1079933 писал(а):

Вообще говоря, два раза его применить нельзя, так как о существовании второй производной в отличных от $a$ точках ничего не известно.

Есть примитивная модификация правила Лопиталя (так сказать, нулевое правило Лопиталя), в котором утверждается, что предел отношения бесконечно малых дифференцируемых в предельной точке функций равен отношению (если оно существует) производных этих функций в предельной точке. Возможно, ТС второй раз применил именно его.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1079943 писал(а):

NSKuber в сообщении #1079933 писал(а):

Вообще говоря, два раза его применить нельзя, так как о существовании второй производной в отличных от $a$ точках ничего не известно.

Есть примитивная модификация правила Лопиталя (так сказать, нулевое правило Лопиталя), в котором утверждается, что предел отношения бесконечно малых дифференцируемых в предельной точке функций равен отношению (если оно существует) производных этих функций в предельной точке. Возможно, ТС второй раз применил именно его.

А можно поподробнее про этот факт, пожалуйста.

[Brukvalub]

iou в сообщении #1081441 писал(а):

А можно поподробнее про этот факт, пожалуйста.

Это как? Крупными буквами с большими пробелами написать, что ли?

[iou]

Brukvalub в сообщении #1081442 писал(а):

iou в сообщении #1081441 писал(а):

А можно поподробнее про этот факт, пожалуйста.

Это как? Крупными буквами с большими пробелами написать, что ли?

Не совсем. Я правильно понял, что факт, который вы указали - разрешает дифференцировать начальную функцию дважды? Но, по-моему, для второго дифференцирования нам нужно знать что-нибудь о окрестности нашей точки после взятия первой производной.

[Brukvalub]

"Нулевое" правило Лопиталя разрешает дифференцировать второй раз только в точке $a$ и сводится, по существу, к определению второй производной, как указывал NSKuber.