Сходимость вполне и почти всюду

[ProPupil]

Определение. Говорят, что последовательность измеримых на $E$ функций $f_n(x)$ вполне сходится к 0, если

$$\forall \varepsilon > 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=n}^\infty \operatorname{mes} E[|f_k|>\varepsilon]=0.$$

1. Всегда ли из сходимости вполне следует сходимость почти всюду?
2. Всегда ли из сходимости почти всюду следует сходимость вполне?

[Null]

$$\forall \varepsilon > 0 \quad \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=n}^\infty \operatorname{mes} E[|f_k|>\varepsilon]=0.$$

Эквивалентно $\forall \varepsilon > 0 \quad \sum\limits_{k=1}^\infty \operatorname{mes} E[|f_k|>\varepsilon]$ - сходиться

[iancaple]

1.Следует, можно применить формализм объединений-пересечений, например множество сходимости к 0 в нем

$$\bigcap_m\bigcup_n\bigcap_{k\geq n}E\{|f_k|\leq\frac 1m\}$$

2.Не следует, например $f_n(x)=1$ на $(0,\frac 1n)$, 0 иначе

[ProPupil]

Абсолютно верно