Ряд Тейлора ф-ции 2/(1-3x^2) в окрестности x0=1

[Кудряшов Андрей]

Помогите пожалуйста решить задачу.
Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0=1$ функцию $f(x)=2/(1-3x^2)$

[photon]

Кудряшов Андрей писал(а):

Помогите пожалуйста решить задачу.
Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0=1 функцию f(x)=2/(1-3x^2)

Что-то читали? Что-то пробовали делать? Что получилось/не получилось?

[Кудряшов Андрей]

да читал и пробовал.
Если я правильно понял, то нужно найти производные этой функции. В общем-то производные я нахожу, но мне не удается выделить производные порядк n и n+1

[незваный гость]

То есть, Вы пытаетесь найти общий вид разложения Тейлора?

[Кудряшов Андрей]

да

[незваный гость]

Пойдем путем наименьшего сопротивления:

1) сделаем подстановку $x \to 1+y$. Имеем функцию $-\frac{2}{2+6 y + 3 y^2} = $ $-\frac{1}{1+(3 y ( y + y/2))} = $.

2) Раскладываем ее ряд (относительно $3 y ( y + y/2)$): $\sum\limits_{m=0}^\infty (-1)^m (3 y (1+y/2))^m = $ $\sum\limits_{m=0}^\infty (-1)^m 3^m y^m (1+y/2)^m$.

3) Теперь -- бином Ньютона: $ = \sum\limits_{m=0}^\infty (-1)^m 3^m y^m \sum \limits_{k=0}^{m}C_m^k \frac{y^k}{2^k} = $ $\sum\limits_{m=0}^\infty \sum \limits_{k=0}^{m}(-1)^m C_m^k \frac{ 3^{m+k} y^{k+m}}{6^k} = $

4) Вводим новую переменну $n = m + k$ и меняем порядок суммирования: $\sum\limits_{n=0}^\infty \sum \limits_{k=0}^{n/2}(-1)^{n-k} C_{n-k}^k \frac{ 3^n y^n}{6^k} = $ $\sum\limits_{n=0}^\infty {-1}^n 3^n y^n \sum \limits_{k=0}^{n/2}(-1)^k C_{n-k}^k \frac{1}{6^k} $.

5) Собственно, почти все. Кроме нескольких деталей. а) перейти обратно к $x$. б) Мы потеряли минус перед всем выражением на втором шаге. в) внутренняя сумма выражается через многочлен Чебышева второго рода $\sum \limits_{k=0}^{n/2}(-1)^k C_{n-k}^k \frac{1}{6^k} = 6^{-n/2} U_n(\sqrt{\frac32})$. Окончательно имеем: $ - \sum\limits_{n=0}^\infty {(-1)}^n (\frac{3}{2})^{n/2} U_n(\sqrt{\frac32}) (x-1)^n $

[Руст]

Решается проще если представить вначале в виде суммы $f(x)=2/(1-3x^2)=1/(1-x\sqrt(3))+1/(1+x\sqrt(3))$.

[Руст]

Отсюда получается
$f(x)=a(0)+a(1)(x-1)+a(2)(x-1)^2+\ldots$, где
$a(n)=(-1)^n*[q_1^n/(1+\sqrt(3)+q_2^n/(1-\sqrt(3))]$, $q_1=(3-\sqrt(3))/2$, $q_2=(3-\sqrt(3))/2$.

[Trueman]

Руст писал(а):

Отсюда получается
f(x)=a(0)+a(1)(x-1)+a(2)(x-1)^2+..., где
a(n)=(-1)^n*[q1^n/(1+sqrt(3)+q2^n/(1-sqrt(3))],q1=(3-sqrt(3))/2,q2=(3-sqrt(3))/2.

Вот хотелось бы уточнить, а(0) - это значение функции в точке х=1? и ещё этот ряд описывает чётную функцию?

Нельзя ли как-то использовать, очевидное разложение функции в ряд в окресности нуля?

[Руст]

Это коэффициенты в ряде Тейлора.