безразмерные уравнения

[assik]

Подскажите пожалуйста, в чем плюс в переходе к безразмерным уравнениям? Насколько я понимаю это позволяет уменьшить число параметров в уравнений и выделить класс подобных явлений.

[Pphantom]

assik в сообщении #1078291 писал(а):

Насколько я понимаю это позволяет уменьшить число параметров в уравнений и выделить класс подобных явлений.

Во-первых, действительно это - количество параметров, определяющих поведение системы, может оказаться существенно меньше, чем в исходной задаче (и, в принципе, может стать даже нулевым). Во-вторых, при численном решении точность представления чисел в определенных случаях лучше, если сами числа находятся в окрестности единицы. Сейчас это далеко не всегда актуально, но все же хуже от этого не будет.

P.S. Только, вообще говоря, это вопрос не для математического раздела, скорее для CS или даже для физики.

[assik]

Спасибо Фантом!

[Munin]

Есть и минус. Например, при переходе к безразмерной форме решение начинает зависеть от всех деталей уравнения. А на практике, не все они могут быть важны! Какие-то могут быть добавлены "сдуру" или "для формальной правильности", но в реальности дают пренебрежимо малые поправки, и их лучше было бы отбросить. Но в безразмерной форме этого не видно.

Так что, надо сначала проводить анализ порядков малости различных эффектов, а потом, после этого - обезразмеривать уравнение, и работать с ним в чистом виде. Где уже всё считается существенным.

[B@R5uk]

На мой взгляд безразмерные коэффициенты проще сравнивать с единицей, особенно, если их меньше, чем изначальных размерных коэффициентов. Другими словами, обезразмеривание упрощает анализ уравнения.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1078351 писал(а):

Есть и минус. Например, при переходе к безразмерной форме решение начинает зависеть от всех деталей уравнения. А на практике, не все они могут быть важны! Какие-то могут быть добавлены "сдуру" или "для формальной правильности", но в реальности дают пренебрежимо малые поправки, и их лучше было бы отбросить. Но в безразмерной форме этого не видно.

Почему? Это с физической точки зрения всего лишь смена единиц, относительно малые члены так и останутся относительно малыми.

[assik]

Pphantom в сообщении #1078356 писал(а):

Munin в сообщении #1078351 писал(а):

Есть и минус. Например, при переходе к безразмерной форме решение начинает зависеть от всех деталей уравнения. А на практике, не все они могут быть важны! Какие-то могут быть добавлены "сдуру" или "для формальной правильности", но в реальности дают пренебрежимо малые поправки, и их лучше было бы отбросить. Но в безразмерной форме этого не видно.

Почему? Это с физической точки зрения всего лишь смена единиц, относительно малые члены так и останутся относительно малыми.

Видимо здесь имеется ввиду, что обезразмеривающий множитель может включать в себя некий параметр системы, чье возмущение изначально не так сильно сказывается на поведении системы. Но в обезразмеренном уравнении его возмущения могут сильно сказываться на решении. Так я понял.

[Pphantom]

assik в сообщении #1078522 писал(а):

Видимо здесь имеется ввиду, что обезразмеривающий множитель может включать в себя некий параметр системы, чье возмущение изначально не так сильно сказывается на поведении системы. Но в обезразмеренном уравнении его возмущения могут сильно сказываться на решении. Так я понял.

Осталось понять, каким образом такое может получиться. Если что - вопрос риторический.

[Евгений Машеров]

Я несколько иначе понял. А именно, что в реальном уравнении есть члены, которые могут быть отброшены без потери точности, поскольку их влияние не превышает ошибки измерения существенных параметров, и это отбрасывание может сильно упростить работу. Переход к безразмерной форме важными их не сделает, но обнаружить, что они несущественны, может быть сложнее. Оставаясь, что в размерной, что в безразмерной форме, они на поведение решения влияния не окажут, но вот на затраты сил для работы с подробно выписанным уравнением, большинство членов которого ни для чего, повлияют сильно.

[Munin]

Я имел в виду случай, когда члены (или не члены, а вообще детали) уравнения являются существенными в одной области параметров, и не являются - в другой. Но обезразмеривание уравнения провоцирует исследовать общий случай, или случай около единицы. А в исходном уравнении интерес мог представлять другой частный случай, который при обезразмеривании проецируется на какую-то малозаметную область вдали от единицы, и далеко не на общий случай. В результате, силы могут быть затрачены не на то, что реально практически нужно было. А то и вывод может быть более пессимистичным, "решить нельзя", в то время как исходную задачу - можно.

[Утундрий]

Так, конечно, может быть, но это всего-навсего значит, что обезразмеривание было проведено криво. Были выбраны не характерные масштабы задачи, а просто то что удалось слепить из соображений размерности, например. Однако это не значит, что задачу нельзя допилить до кондиции уже после первого неудачного обезразмеривания. Причём такое после, возможно, будет в чём-то проще.

[Munin]

Утундрий в сообщении #1078659 писал(а):

Так, конечно, может быть, но это всего-навсего значит, что обезразмеривание было проведено криво.

Ну вот я всего-навсего и хотел сказать, что не надо криво, надо прямо.