Бесконечное произведение

[tetricka12]

Пусть $a_0 = \frac{5}{2} $, и $a_k = a_{k-1}^2 -2$
вычислите произведение$ \prod\limits^\infty_{k=0}(1- \frac{1}{a_k})$
Увидел эту задачу на одной олимпиаде, и стало интересно узнать, как решаются такие задачи, и с чего стоит начать?
Пытался сделать замену переменной $b_n = \frac{1}{a_n}$ но в итоге ничего не получилось. Интуитивно чувствую что произведение ряда будет меньше 0.5, но этого ен достаточно чтобы решить)

[provincialka]

tetricka12
А вы пробовали просто выписать первые несколько сомножителей? Вдруг там какая-то закономерность есть?

[AlexValk]

Попробуйте реализовать такой план:
1. Сначала находим общую формулу для $a_n$. В качестве подсказки приведу такую форму для первых трех членов: $a_0=\frac52=2+\frac12$, $a_1=\frac{25}{4}-2=\frac{17}{4}=4+\frac14$, $a_2=\frac{257}{16}=16+\frac{1}{16}$. .
2. Затем находим общую формулу для числителя и знаменателя произведения $\prod\limits_{k=0}^n \left(1-\frac{1}{a_k}\right)$, если его, используя формулу из пункта 1, записать в виде дроби $\frac{N_k}{D_k}$. Здесь будет удобно неоднократно использовать формулу $(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\dots (a^{2^m}+b^{2^m})=a^{2^{m+1}}-b^{2^{m+1}}$. Итоговый ответ для $\prod\limits_{k=0}^n \left(1-\frac{1}{a_k}\right)$ сравнительно компактный.
3. Переходя к пределу $n\to \infty$ в этой формуле получим $\prod\limits_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{a_k}\right)=\frac37$, что действительно меньше 0.5, как Вы и пишете.

Впрочем, итоговый результат можно было попробовать угадать численно, например, в Экселе, или даже на калькуляторе - после $k=5$ произведение практически перестает меняться (так как величина $a_k$ очень быстро нарастет) и ответ с машинной точностью стабилизируется на значении 0,428571428571428 (а это с 15 знаками после запятой совпадает с $\frac37$). Если число $3/7$ не очень узнаваемо, то обратное к нему $7/3\approx 2,333\dots$ - вполне узнаваемо. Я, по крайней мере, угадал ответ именно так. А потом уже стал искать доказательство.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[TOTAL]

Попробуйте реализовать такой план:

$$\prod\limits_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{a_k}\right)= \prod\limits_{k=0}^\infty \dfrac{a_{k+1}+1}{a_k + 1} \sqrt{\dfrac{a_{k+1}-2}{a_{k+2} -2}}= \dfrac{\sqrt{a_{1}-2}}{a_{0} +1}$$

[Dmitry Tkachenko]

tetricka12, для данной последовательности легко найти формулу $k$-го члена: $a_k=2^{2^k}+\frac{1}{2^{2^k}}.$ Когда это сделать не получается можно попробовать поискать выгодные соотношения между членами последовательности. Например, сейчас $\prod\limits_{k=0}^{n}(1-1/a_k)=\prod\limits_{k=0}^n \frac{(a_k-1)}{a_k}.$

Что можно сказать о $a_k-1$ ? Итак, $a_{k+1}+1=a_k^2-1=(a_k-1)(a_k+1),$ то есть $a_k-1=\frac{a_{k+1}+1}{a_k+1}.$ Далее, пробуем выразить $\prod\limits_{k=0}^n \frac{a_{k+1}+1}{a_k(a_k+1)}$ через какой-то один член последовательности (например, $n$-ый или $(n+1)$-й, - как получится). Для $n=0$ получим $\frac{a_1+1}{a_0(a_0+1)}.$ Для $n=1$ получим $\frac{a_1+1}{a_0(a_0+1)}\frac{a_2+1}{a_1(a_1+1)}=\frac{a_2+1}{a_0 a_1 (a_0+1)}.$ Теперь видно (можно доказать по индукции), что $\prod\limits_{k=0}^n \frac{a_{k+1}+1}{a_k(a_k+1)}=\frac{a_{n+1}+1}{a_0 a_1\dots a_n (a_0+1)}=\frac{2}{7}\frac{a_{n+1}+1}{a_0 a_1\dots a_n}.$

В числителе есть $a_{n+1}.$ Попробуем выразить $a_0\dots a_n$ через $a_{n+1}.$ Для этого можно посмотреть на $a_{n+1}^2=(a_n^2-2)^2=a_n^4-4a_n^2+4$, $a_n^2(a_n^2-4)+4=a_n^2(a_n+2)(a_n-2)+4$, $a_n^2 a_{n-1}^2(a_{n-1}^2-4)+4=\dots=a_n^2\dots a_0^2(a_0^2-4)+4.$ Откуда получим, что $a_{n+1}^2-4=\frac{9}{4}(a_0 \dots a_n)^2$ и $a_0\dots a_n=\frac{2}{3}\sqrt{a_{n+1}^2-4}.$

Таким образом, $\prod\limits_{k=0}^{n}(1-1/a_k)=\frac{2}{7}\frac{a_{n+1}+1}{a_0 a_1\dots a_n}=\frac{2\cdot 3}{7\cdot 2}\frac{a_{n+1}+1}{\sqrt{a_{n+1}^2-4}} \rightarrow_{n\to \infty} \frac{3}{7}.$