Задача на делимость многочленов.

[lim]

Приветствую всех!
1. При каких $m (x+1)^m-x^m-1 \vdots (x^2+x+1)^2$.
Решение:
$m (x+1)^m-x^m-1 \vdots (x^2+x+1)^2\Leftrightarrow m(x+1)^{m-1}-mx^{m-1}\vdots(x^2+x+1)$, т.е. $m(m-1)(m-2)x^{m-2}+\cdots+m\vdots(x^2+x+1)$? А дальше я застрял... Можете подкинуть идею?

[provincialka]

А как у вас первая равносильность получилась?

[lim]

provincialka Если $f \vdots (x-a)^2 \Rightarrow f' \vdots(x-a)$, нет?

[provincialka]

У вас делитель другой... не линейный.
Нет.. это не важно... важно, что нет равносильности...
Не решала пока... Но, может, через комплексные корни? Или умножить оба выражения на $(x-1)^2$?

[Sonic86]

Где-то была уже эта задача.
Рассмотрите сначала делимость на $x^2+x+1$ - у Вас множество допустимых $m$ уменьшится. А там видно будет.

[provincialka]

Хм... квадратный многочлен справа имеет корни $\varepsilon$ -- корни кубические из 1, но не 1. Для них $\varepsilon +1$ -- корни кубические из -1.

[deep blue]

provincialka в сообщении #1078520 писал(а):

Хм... квадратный многочлен справа имеет корни $\varepsilon$ -- корни кубические из 1, но не 1. Для них $\varepsilon +1$ -- корни кубические из -1.

А это помогает? Если мы покажем, что у многочленов разные корни при всех m>1, то решим задачу. Корни правого многочлена это кубические корни из 1, но как показать что корни левого многочлена другие?

[provincialka]

deep blue
Вы, кажется, не ТС? Я его жду. Не можем же мы решать задачу за него...

deep blue в сообщении #1078777 писал(а):

Корни правого многочлена это кубические корни из 1, но как показать что корни левого многочлена другие?

Ну, например, подставить корни правого в левый.

[deep blue]

Спасибо, подождем ТС)

[TOTAL]

Sonic86 в сообщении #1078508 писал(а):

Рассмотрите сначала делимость на $x^2+x+1$ - у Вас множество допустимых $m$ уменьшится. А там видно будет.

Или рассмотрите сначала делимость производной на $x^2+x+1$ - у Вас множество допустимых $m$ уменьшится. А там видно будет.

[provincialka]

Кстати, условие задачи какое-то непонятное. В начале написано: "При каких $m$ ... ", так что можно понять, что $m$ не входит в многочлен. Дальше оно там появляется. Но по тому, как записана производная, видно, что $m$ не является коэффициентом в первом слагаемом! Так что же мы решаем?

При каких $m$ многочлен $m(x+1)^m-x^m-1 $ делится на $ (x^2+x+1)^2$
или
При каких $m$ многочлен $(x+1)^m-x^m-1 $ делится на $ (x^2+x+1)^2$?

[TOTAL]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1078789 писал(а):

Так что же мы решаем?

При каких $m$ многочлен $m(x+1)^m-x^m-1 $ делится на $ (x^2+x+1)^2$
или
При каких $m$ многочлен $(x+1)^m-x^m-1 $ делится на $ (x^2+x+1)^2$?

Или
До каких пор многочлен $(x+1)^m-x^m-1 $ делится на $ (x^2+x+1)^2$?