Бесконечно малые в вычислении пределов

[provincialka]

Согласна с Brukvalub. Такое рассуждение можно провести "для себя", чтобы догадаться, что там, собственно, происходит. Но потом нужно все-таки оформить всё строго.

[A.M.V.]

$\sin x\sim x, x\to 0.$

[Brukvalub]

A.M.V. в сообщении #1077339 писал(а):

$\sin x\sim x, x\to 0.$

Да неужели??? Не верю! Это не может быть правильным!!!

[A.M.V.]

Делаю заключение, что иного способа решения никто предложить не может.

-- 27 ноя 2015, 17:53 --

Brukvalub в сообщении #1077335 писал(а):

A.M.V. в сообщении #1077320 писал(а):

Замените бесконечно малые на эквивалентные. Логарифмы останутся, но хоть синусы уйдут.

Всегда ли функция от бесконечно малой будет эквивалентна той же функции от эквивалентной бесконечно малой?

Приведите пример, когда это не так.

[Brukvalub]

A.M.V. в сообщении #1077343 писал(а):

Приведите пример, когда это не так.

В ответ предлагаю автоматически считать верными все утверждения, к которым вы не знаете контр-примеров.

[A.M.V.]

A.M.V. в сообщении #1077320 писал(а):

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln \sin ax}{\ln \sin bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln ax}{\ln bx}$$

Дальше что?

[Sonic86]

A.M.V. в сообщении #1077347 писал(а):

A.M.V. в сообщении #1077320 писал(а):

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln \sin ax}{\ln \sin bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln ax}{\ln bx}$$

Дальше что?

Здесь уже совсем просто: какие свойства логарифма Вы знаете. Куда стремится $\ln x$ при $x\to 0+0$?

A.M.V. в сообщении #1077320 писал(а):

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln \sin ax}{\ln \sin bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln ax}{\ln bx}$$

A.M.V. в сообщении #1077339 писал(а):

$\sin x\sim x, x\to 0.$

этот переход не обоснован, как Вам уже здесь намекали.

[Brukvalub]

A.M.V. в сообщении #1077347 писал(а):

Дальше что?

А дальше следует сменить тон и осознать, что здесь нет ваших слуг, вам здесь никто ничего не задолжал, и говорить с вами в таких манерах не станут.

[A.M.V.]

Здесь уже совсем просто: какие свойства логарифма Вы знаете. Куда стремится $\ln x$ при $x\to 0+0$?

$\ln x\to -\infty$ при $x\to 0+0$

-- 27 ноя 2015, 18:44 --

Намекать не нужно. Нужно аргументированно доказывать.

[Sonic86]

A.M.V. в сообщении #1077358 писал(а):

Здесь уже совсем просто: какие свойства логарифма Вы знаете. Куда стремится $\ln x$ при $x\to 0+0$?

$\ln x\to -\infty$ при $x\to 0+0$

Вот применяйте это свойство, предел находится в 3 шага.

(Оффтоп)

A.M.V. в сообщении #1077358 писал(а):

Намекать не нужно. Нужно аргументированно доказывать.

Вам нужно, Вы и доказывайте

[ИСН]

Логарифм произведения - это что, например?

[provincialka]

Brukvalub а, кстати, я как-то пыталась думать, при каких более-менее естественных условиях функция "сохраняет" эквивалентность... Что-то не додумалась пока. Ну, она должна быть бесконечно большой или бесконечно малой в 0. Что ещё? Дифференцируемость? Для бесконечно малых это подходит, если производная не равна 0. Аналитичность?
А для бесконечно больших, как логарифм? Хм...

[NSKuber]

A.M.V. в сообщении #1077343 писал(а):

Приведите пример, когда это не так.

Держите:
$\frac{1}{x} \sim 1 + \frac{1}{x}, x\to 0$, но $e^{\frac{1}{x}}$ и $e^{1 + \frac{1}{x}}$ не эквивалентны.
Или так, чтобы именно бесконечно малые были эквивалентны:
$x \sim x^2 + x, x \to 0$, но $f(x)$ и $f(x^2 + x)$, где $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$, неэквивалентны.

[Brukvalub]

provincialka, мне такие достаточно общие условия также не известны.

[A.M.V.]

NSKuber в сообщении #1077371 писал(а):

A.M.V. в сообщении #1077343 писал(а):

Приведите пример, когда это не так.

Держите:
$\frac{1}{x} \sim 1 + \frac{1}{x}, x\to 0$, но $e^{\frac{1}{x}}$ и $e^{1 + \frac{1}{x}}$ не эквивалентны.

Неправильный контрпример. Это две бесконечно большие функции.