Стержень во поле..

[dovlato]

По поводу задачи о вращении стержня с зарядами на концах, вращающегося в магнитном поле. Можно сделать из неё задачу чуть позанятнее.
В условии оставим всего два параметра $\omega_1, \omega_2$ - это предельные угловые скорости вращения стержня в магнитном поле - соответственно, по часовой стрелке, и против неё.
Спрашивается, какова предельная скорость вращения $\omega_0$ - без поля?

[Munin]

Слишком много отбросили. Хотя бы $q/m$ надо оставить.

[dovlato]

Да вроде нет, если не ошибаюсь.. Мало того - можно ещё заодно найти частоту обращения свободного заряда в магнитном поле.

[mihiv]

$\omega _0=\sqrt {\omega _1\omega _2}, \omega _{free}=|\omega _2-\omega _1|$

[dovlato]

mihiv в сообщении #1076532 писал(а):

$\omega _0=\sqrt {\omega _1\omega _2}, \omega _{free}=|\omega _2-\omega _1|$

У меня тот же результат (имеется в виду, что оба заряда одинаковы по величине и знаку).
Но вот возник какой вопрос. Без расписывания дифф. уравнений я на него ответить не могу, но вдруг кто знает ответ.
Что произойдёт, если в магнитном поле начнёт вращаться диполь, у которого знаки зарядов противоположны?

[DimaM]

dovlato в сообщении #1076687 писал(а):

Что произойдёт, если в магнитном поле начнёт вращаться диполь, у которого знаки зарядов противоположны?

Очевидно будет действовать сила, направленная вдоль диполя (если вращается в перпендикулярной полю плоскости, при другой ориентации будет еще момент силы).

[mihiv]

Если поле слабое, а диполь достаточно массивный, то можно попробовать метод последовательных приближений. В нулевом приближении считаем, что поле не влияет на движение диполя: его центр масс находится в начале координат $x^{0}_c=y^{0}_c=0$, диполь вращается с угловой скоростью $\omega $. Пусть длина диполя $2l$, масса каждого заряда $m$. Тогда закон движения положительного заряда диполя можно записать так: $x(t)=l\cos \omega t , y(t)=l\sin \omega t $. Сумма сил Лоренца, действующих на заряды направлена по оси диполя, поэтому уравнения движения центра масс диполя в первом приближении имеют вид:

$$\begin {array}{l}\ddot x_c^{(1)}=-\dfrac {el\omega H}{mc}\cos \omega t \\\ddot y_c^{(1)}=-\dfrac {el\omega H}{mc}\sin \omega t\end {array}$$

Интегрируя эту систему уравнений, получим $x_c^{(1)}(t)=l\dfrac {\omega _H}{\omega }\cos \omega t+ c_1t, y_c^{(1)}(t)=l\dfrac {\omega _H}{\omega }\sin \omega t+c_2t.$ Где $\omega _H=\dfrac {eH}{mc}$.
Начальные условия можно выбрать так, что $c_1=c_2=0$, тогда центр масс диполя движется по окружности радиуса $r=\dfrac {\omega _H}{\omega }l$ с угловой скоростью $\omega $. Вполне возможно, что это движение может оказаться неустойчивым.

[dovlato]

Неожиданно сложно.

[dovlato]

Нашёл детское решение. Внешне оно выглядит почти так же как у mihiv, но оно точное, хотя это очень частный случай.
Значит, пусть диполь вращается вокруг неподвижной точки, постоянно находящейся на той же прямой, что и диполь.
Тогда расстояние от центра диполя до оси вращения определяется угловой скоростью вращения $\omega$

$$r=l\frac{\omega_0}{\omega}, \qquad\omega_0=\dfrac{Bq}{m}$$

Оно, конечно, неустойчиво, т.к. на внешний заряд действует сила бОльшая, и она стремится диполь опрокинуть.